Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 2,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 4 mP = 15 kN w 2,5 mw = 3 kN/m od 0 do 4 m

M_A = kN·m

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 7 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 3 mAD = 8 mP = 10 kN w 7 mw = 5 kN/m od 3 do 8 m

M_A = kN·m

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 7,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 60 kN w 1 mw = 8 kN/m od 0 do 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 40 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 125 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 125 mm

h_req = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 61,5 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

Moment względem ściany

M_A = P·a + W·x̄ = 15·2,5 + 12·2 = 61,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 61,5 kN·m

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 43,5 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 5·5 = 25 kN w 2,5 m od C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 10·4 + 25·2,5

R_D = 20,5 kN

V_C = 35 − 20,5 = 14,5 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 14,5 = 14,5 kN

M_A = 14,5·3 = 43,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 43,5 kN·m

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 15,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 58,33, M_C = 76,67, M_D = 95 kN·m, M_E = 63,33, M_F = 31,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 95 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 18,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·1 + 8·8·4

R_B = 316/8 = 39,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 124 − 39,5 = 84,5 kN

Przetnij w x = 7,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 84,5·7,5 − 60·(7,5 − 1) − 8·7,5·3,75 = 18,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 18,75 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 11,67 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·7 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 35 = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0,9487 = −36,89 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−36,89)·0,3162 = 11,67 kN

Odpowiedź

F_AC = 11,67 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = 2,236 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 − 10·4 → C_y = −2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −2 = 12 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−2/0,8944 = 2,236 kN

Odpowiedź

F_BC = 2,236 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 6,278 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 6,278 mm

Odpowiedź

δ_max = 6,278 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 162,1 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·16,67) = 4,439 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·4,439 × 10⁷/125)^1/3 = 162,1 mm

Odpowiedź

h_req = 162,1 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 14,28 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·6000 = 12000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/12000² = 14279 N = 14,28 kN

Odpowiedź

P_cr = 14,28 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 71,06 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis