Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP₁ = 40 kN w 2,5 mP₂ = 35 kN w 3 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 50° do poziomu, a w odległości 1,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 4 mP = 45 kN w 2,5 m, θ = 50°Q = 25 kN w 1,5 m

α = °

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 2 kN/m od 0 do 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 50 kN w 5 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 5 kN →

F_AC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 25 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 25 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 23,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 35·3

R_B = 205/4 = 51,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 51,25 = 23,75 kN

Odpowiedź

R_A = 23,75 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 44,63 °

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 45·sin 50° = 34,47 kN

P_h = 45·cos 50° = 28,93 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·4 = 34,47·2,5 + 25·1,5 → R_B = 30,92 kN

A_y = 34,47 + 25 − 30,92 = 28,55 kN

A_x = P_h = 28,93 kN

Kierunek w A

α = atan(A_y/A_x) = atan(28,55/28,93) = 44,63°

Odpowiedź

α = 44,63°

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 2,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 5·4,5 − 2·4,5·2,25 = 2,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 2,25 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 168,8 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 10·8·4

R_B = 570/8 = 71,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 71,25 = 58,75 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 58,75·5 − 10·5·2,5 = 168,8 kN·m

Odpowiedź

M_x = 168,8 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −27,06 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·7 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 26,25 = 3,75 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,9701 = −27,06 kN

Odpowiedź

F_BC = −27,06 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 3,75 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 + 5·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 11,25 = −1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,9487 = −11,86 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,86)·0,3162 = 3,75 kN

Odpowiedź

F_AC = 3,75 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,007843 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 5·4000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,007843 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,007843 rad

To 0,4494°.

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2500⁴/(384·70000·6,944) = 6,278 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 4,094 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1500 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3000² = 4094 N = 4,094 kN

Odpowiedź

P_cr = 4,094 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 66,79 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,79 mm

Odpowiedź

d = 66,79 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 179,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis