Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 4 mP₁ = 45 kN w 2,5 mP₂ = 35 kN w 3 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 3 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 1,5 m do swobodnego końca w 5 m. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 4 mAC = 5 mP = 80 kN w 3 mw = 8 kN/m od 1,5 do 5 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 12 kN/m od 0 do 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7,5 mw = 2 kN/m od 0 do 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 5 m

M_B = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 23 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 140 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 54,38 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2,5 + 35·3

R_B = 217,5/4 = 54,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 54,38 = 25,63 kN

Odpowiedź

R_B = 54,38 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 25,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 8·3,5 = 28 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·3 + 28·3,25

R_B = 331/4 = 82,75 kN

R_A = 108 − 82,75 = 25,25 kN

Odpowiedź

R_A = 25,25 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 18 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 24·1 − 12·1·0,5 = 18 kN·m

Odpowiedź

M_x = 18 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −6,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·7,5 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·7,5·3,75

R_B = 56,25/5 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m

Odpowiedź

M_B = −6,25 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −33,94 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·2 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 24 = 36 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,7071 = −33,94 kN

Odpowiedź

F_BC = −33,94 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −9,52 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·1 − 10·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 3,75 = 56,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,3939 = −9,52 kN

Odpowiedź

F_BC = −9,52 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 10,64 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 10,64 mm

Odpowiedź

δ_max = 10,64 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 3,416 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 23000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 2,381 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,035 mm

Dodaj

δ_max = 2,381 + 1,035 = 3,416 mm

Odpowiedź

δ_max = 3,416 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 263,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 263,2 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 98,17 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 98,17 mm

Odpowiedź

d = 98,17 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 122,2, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis