1.Łatwy
Wielkość maleje zgodnie z dy/dt = −k·y, gdzie k > 0. W chwili t = 0 wynosi 250, a w chwili t = 12 h wynosi 150. Wyznacz stałą szybkości k w h⁻¹.
y(0) = 250y(12) = 150
k = h⁻¹
Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
2.Łatwy
Układ masa–sprężyna–tłumik opisuje równanie y″ + 3y′ + 36y = 0. Porównaj je z y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 i wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
y″ + 3y′ + 36y = 0
ζ =
3.Średni
Puszkę napoju o temperaturze 5 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 26 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,03 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 17 min.
T0 = 5 °CTa = 26 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 17 min
T = °C
4.Średni
Rozwiąż y″ + 6y′ + 5y = 0 z y(0) = 5 i y′(0) = 2. Wyznacz y(2).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(2) =
5.Trudny
Zbiornik zawiera 400 L wody, w której rozpuszczono 5 kg soli. Solanka zawierająca 0,05 kg soli na litr wpływa z natężeniem 20 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 30 min?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.Trudny
Układ spełnia równanie y″ + 4y′ + 8y = 80 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz wartość szczytową ymax jego odpowiedzi skokowej.
y″ + 4y′ + 8y = 80y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Klucz odpowiedzi
- 1. k = 0,04257 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. T = 13,39 °C
- 4. y(2) = 0,9134
- 5. m = 16,65 kg
- 6. ymax = 10,43
Pełne rozwiązania krok po kroku: ćwicz ten temat na examproblems.com.