1.Łatwy
Dla równania y″ + 3y′ + 2y = 0 wyznacz pierwiastek r równania charakterystycznego, który leży najbliżej zera. Określa on, jak wolno zanika rozwiązanie.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
2.Łatwy
Układ masa–sprężyna–tłumik opisuje równanie y″ + 4y′ + 64y = 0. Porównaj je z y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 i wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
y″ + 4y′ + 64y = 0
ζ =
3.Średni
Puszkę napoju o temperaturze 4 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 28 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,03 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 16 min.
T0 = 4 °CTa = 28 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 16 min
T = °C
4.Średni
Odkuwkę stalową o temperaturze 360 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 23 °C. Po 32 min jej temperatura wynosi 268 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 23 °CT(32) = 268 °C
k = min⁻¹
5.Trudny
Zbiornik zawiera 500 L czystej wody. Solanka zawierająca 0,1 kg soli na litr wpływa z natężeniem 5 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 50 min?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.Trudny
Rozwiąż y′ + 2y = 5e−3t z y(0) = 0. Wyznacz y(2).
y′ + 2y = 5e−3ty(0) = 0
y(2) =
Klucz odpowiedzi
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0,25
- 3. T = 13,15 °C
- 4. k = 0,009963 min⁻¹
- 5. m = 19,67 kg
- 6. y(2) = 0,07918
Pełne rozwiązania krok po kroku: ćwicz ten temat na examproblems.com.