1.Łatwy
Wielkość rośnie zgodnie z dy/dt = k·y, gdzie k > 0. W chwili t = 0 wynosi 400, a w chwili t = 10 h wynosi 1320. Wyznacz stałą szybkości k w h⁻¹.
y(0) = 400y(10) = 1320
k = h⁻¹
Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
2.Łatwy
Znacznik promieniotwórczy ma okres połowicznego rozpadu 29 dni. Próbka zawiera początkowo 200 mg. Rozpad przebiega zgodnie z dm/dt = −k·m. Ile m zostanie po 54 dniach?
m0 = 200 mgt½ = 29 dt = 54 d
m = mg
3.Średni
Odkuwkę stalową o temperaturze 320 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 25 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,03 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 31 min.
T0 = 320 °CTa = 25 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 31 min
T = °C
4.Średni
Rozwiąż y″ + 6y′ + 5y = 0 z y(0) = 1 i y′(0) = 2. Wyznacz y(0,5).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(0.5) =
5.Trudny
Zbiornik zawiera 500 L wody, w której rozpuszczono 5 kg soli. Solanka zawierająca 0,2 kg soli na litr wpływa z natężeniem 5 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 34 kg soli?
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.Trudny
Zbiornik zawiera 200 L czystej wody. Solanka zawierająca 0,05 kg soli na litr wpływa z natężeniem 4 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 3 kg soli?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
Klucz odpowiedzi
- 1. k = 0,1194 h⁻¹
- 2. m = 55,02 mg
- 3. T = 141,4 °C
- 4. y(0.5) = 0,9999
- 5. t = 36,42 min
- 6. t = 17,83 min
Pełne rozwiązania krok po kroku: ćwicz ten temat na examproblems.com.