1.Łatwy
Wielkość maleje zgodnie z dy/dt = −k·y, gdzie k > 0. W chwili t = 0 wynosi 120, a w chwili t = 5 h wynosi 30. Wyznacz stałą szybkości k w h⁻¹.
y(0) = 120y(5) = 30
k = h⁻¹
Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
2.Łatwy
Dla równania y″ + 5y′ + 6y = 0 wyznacz pierwiastek r równania charakterystycznego, który leży najbliżej zera. Określa on, jak wolno zanika rozwiązanie.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.Średni
Filiżankę kawy o temperaturze 90 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 23 °C. Po 25 min jej temperatura wynosi 42 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.
T0 = 90 °CTa = 23 °CT(25) = 42 °C
k = min⁻¹
4.Średni
Rozwiąż y″ + 2y′ + y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = 2. Wyznacz y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(0.5) =
5.Trudny
Zbiornik zawiera 400 L wody, w której rozpuszczono 10 kg soli. Solanka zawierająca 0,2 kg soli na litr wpływa z natężeniem 4 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 15 min?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.Trudny
Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + y/x = 2x2 dla x > 0, z y(1) = −2. Wyznacz y(2).
y′ + y/x = 2x2y(1) = −2
y(2) =
Klucz odpowiedzi
- 1. k = 0,2773 h⁻¹
- 2. r = −2
- 3. k = 0,05041 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 3,336
- 5. m = 19,75 kg
- 6. y(2) = 2,75
Pełne rozwiązania krok po kroku: ćwicz ten temat na examproblems.com.