1.Łatwy
Układ masa–sprężyna–tłumik opisuje równanie y″ + 6,4y′ + 16y = 0. Porównaj je z y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 i wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
y″ + 6,4y′ + 16y = 0
ζ =
Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
2.Łatwy
Hodowla bakterii zaczyna się od 5000 komórek i rośnie zgodnie z dN/dt = k·N, gdzie k = 0,34 h⁻¹. Ile komórek N będzie po 22 h?
N0 = 5000k = 0,34 h⁻¹t = 22 h
N =
3.Średni
Odkuwkę stalową o temperaturze 400 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 22 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,02 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 34 min.
T0 = 400 °CTa = 22 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 34 min
T = °C
4.Średni
Puszkę napoju o temperaturze 3 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 29 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,05 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 19 min.
T0 = 3 °CTa = 29 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 19 min
T = °C
5.Trudny
Rozwiąż y′ + 2y = 3e−0,5t z y(0) = 5. Wyznacz y(1).
y′ + 2y = 3e−0,5ty(0) = 5
y(1) =
6.Trudny
Układ spełnia równanie y″ + 4y′ + 20y = 100 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz y(0,75); kąty w radianach.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
Klucz odpowiedzi
- 1. ζ = 0,8
- 2. N = 8,861 × 10⁶
- 3. T = 213,5 °C
- 4. T = 18,94 °C
- 5. y(1) = 1,619
- 6. y(0.75) = 6,026
Pełne rozwiązania krok po kroku: ćwicz ten temat na examproblems.com.