1.Łatwy
Wielkość maleje zgodnie z dy/dt = −k·y, gdzie k > 0. W chwili t = 0 wynosi 250, a w chwili t = 11 h wynosi 213. Wyznacz stałą szybkości k w h⁻¹.
y(0) = 250y(11) = 213
k = h⁻¹
Równania różniczkowe: karta pracy z odpowiedziami
2.Łatwy
Układ masa–sprężyna–tłumik opisuje równanie y″ + 2,4y′ + 16y = 0. Porównaj je z y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 i wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
y″ + 2,4y′ + 16y = 0
ζ =
3.Średni
Puszkę napoju o temperaturze 3 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 24 °C. Po 18 min jej temperatura wynosi 21 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 14 °C?
T0 = 3 °CTa = 24 °CT(18) = 21 °CT = 14 °C
t = min
4.Średni
Filiżankę kawy o temperaturze 82 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 24 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,05 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 30 min.
T0 = 82 °CTa = 24 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 30 min
T = °C
5.Trudny
Układ spełnia równanie y″ + y′ + 4,25y = 42,5 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz y(1); kąty w radianach.
y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.Trudny
Rozwiąż y″ + y′ + 9,25y = 0 z y(0) = 5 i y′(0) = 0 (start ze spoczynku). Wyznacz y(0,75); kąty w radianach.
y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
Klucz odpowiedzi
- 1. k = 0,01456 h⁻¹
- 2. ζ = 0,3
- 3. t = 6,863 min
- 4. T = 36,94 °C
- 5. y(1) = 11,15
- 6. y(0.75) = −1,713
Pełne rozwiązania krok po kroku: ćwicz ten temat na examproblems.com.