Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: karta pracy z odpowiedziami

Wzmocnienie proporcjonalne K steruje obiektem G(s) = 2/(s + 1) w pętli ze sprzężeniem jednostkowym. Wyznacz wzmocnienie K, przy którym biegun układu zamkniętego leży w s = −11.

Wielomian charakterystyczny układu ze sprzężeniem zwrotnym to Q(s) = s⁴ + s³ + 6s² − 14s + 14. Zbuduj tablicę Routha i wyznacz, ile pierwiastków N wielomianu Q(s) leży w prawej półpłaszczyźnie.

Obiekt G(s) = (s + 4)/((s − 3)(s + 1)) ma biegun niestabilny w s = 3. Wzmocnienie proporcjonalne K zamyka wokół niego pętlę ze sprzężeniem jednostkowym. Wyznacz najmniejsze wzmocnienie K_min, przy którym układ zamknięty jest stabilny.

Obiekt G(s) = (s + 4)/((s − 2)(s + 2)) ma biegun niestabilny w s = 2. Wzmocnienie proporcjonalne K zamyka wokół niego pętlę ze sprzężeniem jednostkowym. Wyznacz najmniejsze wzmocnienie K_min, przy którym układ zamknięty jest stabilny.

Pokazano linię pierwiastkową dla L(s) = K/((s + 2)(s + 8)). Wyznacz wzmocnienie K w punkcie rozejścia s_b, w którym dwa bieguny układu zamkniętego spotykają się na osi rzeczywistej.

Dla L(s) = K/((s + 6)(s² + 2s + 17)) wyznacz kąt wyjścia θ_d linii pierwiastkowej z bieguna zespolonego w górnej półpłaszczyźnie, mierzony od dodatniej osi rzeczywistej.