Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (√(x² + 10x) − x).

f(x) = √(x² + 10x) − xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(3x), com x em radianos. Calcule f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 2. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 2

x =

5.OtimizaçãoMédia

Um terreno retangular de 450 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €25 por metro; os outros três lados custam €8 por metro. Encontre o custo total mínimo C.

A = 450 m²€25/m€8/m

C = €

6.OtimizaçãoDifícil

Uma empresa vende q unidades por semana. O preço pelo qual consegue vendê-las é p = 190 − 0,5q euros por unidade, e o custo é C(q) = 700 + 105q euros. Encontre o preço p que maximiza o lucro.

p = 190 − 0,5qC = 700 + 105q

p = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 1 − x² e o eixo x.

y = 1 − x²

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 5

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Multiplicar pelo conjugado

f(x) = 10x/(√(x² + 10x) + x)

Dividir por x

f(x) = 10/(√(1 + 10/x) + 1)

Fazer x → ∞

L = 10/(1 + 1) = 5

Resposta

L = 5

2.Limites

Resposta: L = 4,5

Primeira aplicação

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

9·e^3x/2

Substituir x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Resposta

L = 4,5

3.Derivadas

Resposta: f′(2) = 5,482

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substituir

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Resposta

f′(2) = 5,482

4.Derivadas

Resposta: x = −1

Derivada

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

Resolver f′(x) = 0

x = −4 ou x = −1

Qual é qual

f″(x) = 6x + 15: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

Resposta

x = −1

5.Otimização

Resposta: C = 974,9 €

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Custo como função de x

C(x) = 33x + 7200/x

Igualar a derivada a zero

C″(x) = 14400/x³ > 0, então este é um mínimo.

x = √(7200/33) = 14,77 m

y = 450/14,77 = 30,47 m

Custo mínimo

C = 33·14,77 + 7200/14,77 = €974,9

Resposta

C = €974,9

6.Otimização

Resposta: p = 147,5 €

Função lucro

P(q) = (190 − 0,5q)·q − (700 + 105q) = −0,5q² + 85q − 700

Igualar a derivada a zero

P″(q) = −1 < 0, então este é um máximo.

q = 85/1 = 85

Preço e lucro

p = 190 − 0,5·85 = €147,5

P = 85·85 − 0,5·85² − 700 = €2913

Resposta

p = €147,5

7.Integrais

Resposta: I = 6,963

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^0,5x/0,5

Avaliar nos limites

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Resposta

I = 6,963

8.Integrais

Resposta: A = 1,333

Zeros

1 − x² = 0 → x = ±1

Integrar

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Resposta

A = 1,333

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