Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 19,5% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 19,5%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €2 000 no início de cada ano durante 17 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 5% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 17? Encontre FV.
A = €2 000i = 5%n = 17
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €40 000 hoje, dura 5 anos e custa €4 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 5%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 5r = 5%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €20 000 retorna €7 500 no final de cada ano durante 3 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €20 000CF = €7 500n = 3
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 4 anos e é vendido por €920. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €5 000 000, ações preferenciais no valor de €1 000 000 e dívida no valor de €6 000 000. O custo do capital próprio é 14%, o custo das ações preferenciais 6% e o custo da dívida antes dos impostos 4%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações negociadas a €35,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €28 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,00 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €70 000 000 e custo antes dos impostos de 6%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 59, 57, 12, 56, 35.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está abaixo de 200?
μ = 170σ = 20x = 200
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = −2X + 1. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 1
σY =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,3228. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,3228
z =
14.Distribuição normalDifícil
As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 13 itens tem média 87,5 e desvio-padrão s = 17. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 13x̄ = 87,5s = 1790%t(12) = 1,782
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 22. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
σ = 22E = 395%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 192,8 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 192,8s = 20n = 25
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 25 medições tem média 505,2. O desvio-padrão da população é 20. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 95 % para a média.
x̄ = 505,2σ = 20n = 2595%
L =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 22?
n = 5ŷ = 22
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 21,34 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,195/12 = 0,01625
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,01625)12 − 1 = 1,213 − 1 = 21,34%
Resposta
EAR = 21,34%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 54265 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,05)17 − 1)/0,05 = 25,84
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 2 000·25,84·1,05 = €54 264,77
Resposta
FV = €54 264,77
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 13239 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,05−5)/0,05 = 4,329
Preço de compra anualizado
40 000/4,329 = 9 238,99
EAC
EAC = 9 238,99 + 4 000 = €13 238,99
Resposta
EAC = €13 238,99
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 6,129 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−3)/i = 20 000/7 500 = 2,667
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 6%: 2,673
i = 7%: 2,624
IRR = 6,129%
Resposta
IRR = 6,129%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1084 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,0175, N = 20
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,7068)/0,0175 = €376,94
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7068 = €706,82
Preço
P = €1 083,76
Resposta
P = €1 083,76
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 10,55 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(10%) = €936,60, P(11%) = €906,93
YTM = 10,55%
Resposta
YTM = 10,55%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,833 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 2·1,02 = €2,04
re = 2,04/35 + 0,02 = 7,829%
Valores de mercado
E = 2 000 000·€35,00 = €70 000 000
V = €140 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,829% + 0,5·6%·(1 − 0,258) = 6,14%
Resposta
WACC = 6,14%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 20,27
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,5
Tabela da normal padrão
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 0,6475
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variância
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Resposta
Var(X) = 0,6475
12.Probabilidades
Resposta: σY = 1,673
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Mudança linear
σY = |−2|·0,8367 = 1,673
Resposta
σY = 1,673
A média de fato se desloca: E(Y) = −2·1 + 1 = −1.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 0,46
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,3228 = 0,6772
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,6772 dentro da tabela e leia z.
z = 0,46
Resposta
z = 0,46
14.Distribuição normal
Resposta: x = 52,18 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
De volta a x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 pontos
Resposta
x = 52,18 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 8,402
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Margem de erro
E = 1,782·17/√13 = 8,402
Resposta
E = 8,402
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 207
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·22/3)² = 206,6
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 207
Resposta
n = 207
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,8
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Estatística de teste
t = (192,8 − 200)/4 = −1,8
Resposta
t = −1,8
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 497,4
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,96·20/√25 = 7,84
Limite do intervalo
L = 505,2 − 7,84 = 497,4
Resposta
L = 497,4
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9908
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 121/5 = 24,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Syy = Σ(y − ȳ)² = 542,8
Coeficiente de correlação
r = 146/√(40·542,8) = 0,9908
Resposta
r = 0,9908
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 2,25
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Reta de regressão
b = −16/10 = −1,6
a = 20,8 − (−1,6)·3 = 25,6
ŷ = 25,6 − 1,6·x
Resolver para x
x = (22 − 25,6)/(−1,6) = 2,25
Resposta
x = 2,25
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