Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €20 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 7,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €20 000 daqui a 7 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €20 0004,8% / 12N = 84
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €7 000, €9 500, €10 000, €10 000, €10 500, €9 500 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 5%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
O projeto A custa €10 000 e retorna €6 000, €4 000, €2 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €20 000 e retorna €5 000, €7 500, €11 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 4%n = 8
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 9 anos e é vendido por €1 165. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 9P = €1 165
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €19,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €39 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,20 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €39 000 000 e custo antes dos impostos de 4%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
As massas de parafusos são independentes e normais com média 40 g e desvio padrão 1,2 g. Encontre a probabilidade P de a massa total de 9 deles exceder 363,6 g. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 363,6 g
P =
14.Distribuição normalDifícil
As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 30 celulares, média 93,5 h, desvio-padrão conhecido 3 h. Modelo 2: 50 celulares, média 86 h, desvio-padrão conhecido 12 h. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,05?
p = 0,5E = 0,0590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
13 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 0,7 e o desvio-padrão das diferenças é 1,8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = 0,7sd = 1,8
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 497. O desvio-padrão da população é 10. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.
x̄ = 497σ = 10n = 8195%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 21Σy = 127Σx² = 91Σy² = 2731Σxy = 418
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 97?
n = 6ŷ = 97
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 333333 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 7 000/1,05 = 6 666,67 → Σ = 6 666,67
ano 2: 9 500/1,103 = 8 616,78 → Σ = 15 283,45
ano 3: 10 000/1,158 = 8 638,38 → Σ = 23 921,82
ano 4: 10 000/1,216 = 8 227,02 → Σ = 32 148,85
Fração do último ano
DPB = 3 + 6 078,18/8 227,02 = 3,739
Resposta
DPB = 3,739 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,35 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 3,383 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −20 000 − (−10 000) = −10 000
ΔCF1 = 5 000 − 6 000 = −1 000
ΔCF2 = 7 500 − 4 000 = 3 500
ΔCF3 = 11 000 − 2 500 = 8 500
TIR da diferença
NPVΔ(3%) = 106,92
NPVΔ(4%) = −169,12
r* = 3,383%
Resposta
r* = 3,383%
Verificação: a 3,383% os dois VPLs valem €1 808,70.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1068 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,02, N = 16
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,7284)/0,02 = €339,44
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7284 = €728,45
Preço
P = €1 067,89
Resposta
P = €1 067,89
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 1,98 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 165 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(1%) = €1 256,98, P(2%) = €1 163,24
YTM = 1,98%
Resposta
YTM = 1,98%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 12,92 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·14% + 0,1111·6%·(1 − 0,28) = 12,92%
Resposta
WACC = 12,92%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,507 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 2
Tabela da normal padrão
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Resposta
P = 0,9772
11.Probabilidades
Resposta: σ = 1,382
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,4, Var(X) = 0,94, σX = 0,9695
Mudança linear
σY = |0,5|·0,9695 = 0,4848
Resposta
σY = 0,4848
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·1,4 + 5 = 5,7.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,1587
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g
Padronizar
z = (363,6 − 360)/3,6 = 1
Probabilidades
P = 1 − Φ(1) = 0,1587
Resposta
P = 0,1587
14.Distribuição normal
Resposta: x = 73,42 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
De volta a x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 pontos
Resposta
x = 73,42 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 4,567 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 93,5 − 86 = 7,5
Erro-padrão
SE = √(3²/30 + 12²/50) = 1,783
Margem de erro
E = 1,645·1,783 = 2,933
Intervalo
7,5 ± 2,933 → [4,567, 10,43]
Resposta
limite inferior = 4,567 h
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 271
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,05² = 270,6
Arredondar para cima
n = 271
Resposta
n = 271
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,402
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 1,8/√13 = 0,4992
Estatística de teste
t = 0,7/0,4992 = 1,402
Resposta
t = 1,402
Com gl = 12, o valor crítico bilateral a 5% é 2,179; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 499,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,96·10/√81 = 2,178
Limite do intervalo
U = 497 + 2,178 = 499,2
Resposta
U = 499,2
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9679
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 418 − 21·127/6 = −26,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2731 − 127²/6 = 42,83
Coeficiente de correlação
r = −26,5/√(17,5·42,83) = −0,9679
Resposta
r = −0,9679
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 7,974
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 505/6 = 84,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 455
Reta de regressão
b = 455/70 = 6,5
a = 84,17 − 6,5·6 = 45,17
ŷ = 45,17 + 6,5·x
Resolver para x
x = (97 − 45,17)/6,5 = 7,974
Resposta
x = 7,974
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