Você investe €5 000 a 7% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 2 anos.
PV = €5 000r = 7%t = 2
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €75 000 daqui a 15 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €75 0003,6% / 12N = 180
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €400 000 hoje. Ele gera €47 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €400 000CF1 = €47 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €20 000 e devolve €10 000, €11 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 2%YTM = 4%n = 12
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. Ele é vendido a €1 258. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5% (2×)n = 12P = €1 258
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,75. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
D/E = 0,75re = 12%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €51,00 cada e 5 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 7,5%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 56, 43, 47, 56, 50, 36.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 12. Calcule a pontuação z z de uma nota de 152.
μ = 170σ = 12x = 152
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,25, 0,2, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €6 com probabilidade 0,15 e €40 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €2€6: p = 0,15€40: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9616. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9616
z =
14.Distribuição normalDifícil
As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 25% delas (o percentil 25).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 11 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média −5 e desvio-padrão 4,9. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 11d̄ = −5sd = 4,999%t(10) = 3,169
E = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 34. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?
σ = 34E = 495%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 72,6 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,6s = 12n = 49
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 70 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 117 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 117n₂ = 150
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 5751 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,07·2 = 0,14
e0,14 = 1,15
Valor futuro
FV = 5 000·1,15 = €5 751,37
Resposta
FV = €5 751,37
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 314,9 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 47 000/(0,12 − 0,03) = 522 222,22
NPV
NPV = 522 222,22 − 400 000 = €122 222,22
Resposta
NPV = €122 222,22
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 4,844 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(0%) = 1 500,00
NPV(5%) = −45,35
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €10,00, i = 0,02, N = 24
Valor presente dos cupons
€10,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €189,14
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6217 = €621,72
Preço
P = €810,86
Resposta
P = €810,86
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 2,498 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, N = 24
Resolva numericamente
i = 1,249% por semestre
YTM
YTM = 2·1,249% = 2,498%
Resposta
YTM = 2,498%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,811 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (152 − 170)/12 = −1,5
Resposta
z = −1,5
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 2,127
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 4 (p = 0,15), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)
Valor esperado
E(G) = 4·0,15 + 38·0,02 − 2·0,83 = −0,3 €
Resposta
E(G) = −0,3 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = −1,77
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9616 = 0,0384
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0384 dentro da tabela e leia z.
z = −1,77
Resposta
z = −1,77
14.Distribuição normal
Resposta: x = 473 h
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
De volta a x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Resposta
x = 473,02 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 4,682 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 10, t = 3,169
Margem de erro
E = 3,169·4,9/√11 = 4,682
Resposta
E = 4,682 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 278
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·34/4)² = 277,6
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 278
Resposta
n = 278
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,4
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Estatística de teste
t = (72,6 − 75)/1,714 = −1,4
Resposta
t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,427
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 70/100 = 0,7
p̂₂ = 117/150 = 0,78
p̂ = 187/250 = 0,748
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,748·0,252·(1/100 + 1/150)) = 0,05605
Estatística de teste
z = (0,7 − 0,78)/0,05605 = −1,427
Resposta
z = −1,427
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9599
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 313/6 = 52,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 469,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1519
Coeficiente de correlação
r = 469,5/√(157,5·1519) = 0,9599
Resposta
r = 0,9599
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 19,6
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 68/5 = 13,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Reta de regressão
b = 80/40 = 2
a = 13,6 − 2·6 = 1,6
ŷ = 1,6 + 2·x
Previsão
ŷ = 1,6 + 2·9 = 19,6
Resposta
ŷ = 19,6
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