Investe €5 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.
PV = €5 0002% / 12n = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €25 0003% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €400 000 hoje. Ele gera €18 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 4% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €400 000CF1 = €18 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €10 000 retorna €2 000 no final de cada ano durante 9 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €10 000CF = €2 000n = 9
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 7 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 142 quando o rendimento até o vencimento é 5,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 7P = €1 142YTM = 5,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. Ele é vendido a €1 027. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4% (2×)n = 6P = €1 027
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 10%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 5 anos até o vencimento) negociados a €957 cada. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 13, 58, 29, 57, 58, 56.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 62?
μ = 60σ = 5x = 62
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?
n = 11p = 0,2k = 2
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9868. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9868
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 30% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos30%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 itens tem média 53,5 e desvio-padrão s = 5,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 25x̄ = 53,5s = 5,590%t(24) = 1,711
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Um estudo piloto sugere que cerca de 0,8 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,04?
p ≈ 0,8E = 0,0499%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 200,9 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,9s = 4n = 81
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 16 medições tem média 79,5. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 79,5σ = 15n = 1690%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (18, 83). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(18, 83)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 5309 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €449,22
Resposta
A = €449,22
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 50000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 18 000/(0,08 − 0,04) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 400 000 = €50 000,00
Resposta
NPV = €50 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 13,7 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−9)/i = 10 000/2 000 = 5
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 13%: 5,132
i = 14%: 4,946
IRR = 13,7%
Resposta
IRR = 13,7%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 7,999 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,055)−7 = €687,44
Cupom
C = (1142 − 687,44)/5,683 = €79,99
Taxa de cupom
c = 79,99/1000 = 7,999%
Resposta
c = 7,999%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,497 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, N = 12
Resolva numericamente
i = 1,749% por semestre
YTM
YTM = 2·1,749% = 3,497%
Resposta
YTM = 3,497%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,364 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 0,4
Tabela da normal padrão
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Resposta
P = 0,3446
11.Probabilidades
Resposta: σ = 1,152
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,35
Média dos quadrados
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,85
Variância
Var(X) = 6,85 − 2,35² = 1,328
σ = √1,328 = 1,152
Resposta
σ = 1,152
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,2953
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 55·0,22·0,89 = 55·0,04·0,1342 = 0,2953
Resposta
P = 0,2953
13.Distribuição normal
Resposta: z = −2,22
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9868 = 0,0132
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0132 dentro da tabela e leia z.
z = −2,22
Resposta
z = −2,22
14.Distribuição normal
Resposta: x = 107,8 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,7
z da tabela
z ≈ 0,52
De volta às unidades originais
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 pontos
Resposta
x = 107,8 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 55,38
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Margem de erro
E = 1,711·5,5/√25 = 1,882
Intervalo
53,5 ± 1,882 → [51,62, 55,38]
Resposta
limite superior = 55,38
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 2,576²·0,8·0,2/0,04² = 663,6
Arredondar para cima
n = 664
Resposta
n = 664
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 2,025
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Estatística de teste
t = (200,9 − 200)/0,4444 = 2,025
Resposta
t = 2,025
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 85,67
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·15/√16 = 6,169
Limite do intervalo
U = 79,5 + 6,169 = 85,67
Resposta
U = 85,67
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9932
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 516/6 = 86
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 358
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1856
Coeficiente de correlação
r = 358/√(70·1856) = 0,9932
Resposta
r = 0,9932
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,85
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 461/5 = 92,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
Reta de regressão
b = 214/40 = 5,35
a = 92,2 − 5,35·19 = −9,45
ŷ = −9,45 + 5,35·x
Valor previsto
ŷ = −9,45 + 5,35·18 = 86,85
Resíduo
e = 83 − 86,85 = −3,85
Resposta
e = −3,85
O ponto está abaixo da reta.
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