Investe €3 000 a uma taxa nominal de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 2 anos.
PV = €3 0003,6% / 12n = 2
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €150 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €40 000 hoje. Ela gera €6 500 no final de cada ano durante 7 anos e depois pode ser vendida por €4 000. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €40 000CF = €6 500S = €4 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €19 500, €23 000, €22 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 23 000CF3 = 22 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 6%YTM = 4%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 3 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €37,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 2,5%rm = 7%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 33, 46, 31, 45, 48.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 60?
μ = 50σ = 5x = 60
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 11? A ordem não interessa.
n = 11k = 2
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 12 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?
n = 12p = 0,7k = 1
P =
13.Distribuição normalMédia
X é normal com média 120 mm e desvio padrão 0,3 mm; Y é independente e normal com média 80 mm e desvio padrão 0,4 mm. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 199,8 mm. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
14.Distribuição normalDifícil
As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).
μ = 100σ = 15P = 80%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 60 celulares, média 60 h, desvio-padrão conhecido 18 h. Modelo 2: 100 celulares, média 63,5 h, desvio-padrão conhecido 18 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
Os diâmetros de 11 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 9,9 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 10, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 3,247 e 2,5% fica acima de 20,483.
n = 11s = 9,9 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 30 peças tem comprimento médio de 122 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 11 mm. Linha 2: uma amostra de 80 peças tem média de 115,7 mm, desvio-padrão conhecido de 5 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 75,8. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 95 % para a média.
x̄ = 75,8σ = 12n = 8195%
L =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 3224 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3836
A = 150 000·0,004/(1 − 0,3836) = €973,44
Resposta
A = €973,44
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −3825 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente dos fluxos de caixa anuais
6 500·5,206 = 33 841,41
Valor presente do valor residual
4 000/1,714 = 2 333,96
NPV
NPV = −40 000 + 33 841,41 + 2 333,96 = −€3 824,63
Resposta
NPV = −€3 824,63
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 13,99 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(10%) = 3 640,12
NPV(15%) = −858,06
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, i = 0,02, N = 12
Valor presente dos cupons
€30,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €317,26
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7885 = €788,49
Preço
P = €1 105,75
Resposta
P = €1 105,75
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,517 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(5%) = €1 054,46, P(6%) = €1 026,73
YTM = 5,517%
Resposta
YTM = 5,517%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·11% + 0,4·3%·(1 − 0,25) = 7,5%
Resposta
WACC = 7,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,17 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 2
Tabela da normal padrão
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Resposta
P = 0,02275
11.Probabilidades
Resposta: N = 55
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Resposta
N = 55
12.Probabilidades
Resposta: P = 1,488 × 10⁻⁵
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Padronizar
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Cauda superior
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Resposta
P = 0,6554
14.Distribuição normal
Resposta: x = 112,6 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
De volta a x
x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 pontos
Resposta
x = 112,62 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 1,335 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 60 − 63,5 = −3,5
Erro-padrão
SE = √(18²/60 + 18²/100) = 2,939
Margem de erro
E = 1,645·2,939 = 4,835
Intervalo
−3,5 ± 4,835 → [−8,335, 1,335]
Resposta
limite superior = 1,335 h
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
16.Intervalos de confiança
Resposta: σ = 17,37 µm
Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.
Soma de quadrados
(n − 1)s² = 10·9,9² = 980,1
Limites para σ²
980,1/20,483 = 47,85
980,1/3,247 = 301,8
Limite para σ
σ = √301,8 = 17,37 µm
Resposta
σ = 17,37 µm
Intervalo de 95% para σ: [6,917, 17,37] µm.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 3,022
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(11²/30 + 5²/80) = √4,346 = 2,085
Estatística de teste
z = (122 − 115,7)/2,085 = 3,022
Resposta
z = 3,022
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 73,19
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,96·12/√81 = 2,613
Limite do intervalo
L = 75,8 − 2,613 = 73,19
Resposta
L = 73,19
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,974
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 12573 − 120·507/5 = 405
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 53331 − 507²/5 = 1921
Coeficiente de correlação
r = 405/√(90·1921) = 0,974
Resposta
r = 0,974
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 14,3
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.