Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 25% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 25%m = 2

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €300 no fim de cada mês durante 18 anos. A conta rende 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €3007,2% / 12N = 216

FV = €

3.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €50 000 hoje. Ela gera €11 500 no final de cada ano durante 6 anos e depois pode ser vendida por €5 000. O custo de capital é 6%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €50 000CF = €11 500S = €5 000n = 6r = 6%

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €21 500 no final do ano 1 e cresce 5% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 7. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €21 500g = 5%n = 7r = 12%

NPV = €

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 7 anos. O rendimento até o vencimento é de 5,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 5,5%n = 7

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 7 anos e é vendido por €940. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 4%n = 7P = €940

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.

E = €3 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,3 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,5. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,5. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco 3% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,5T = 25,8%r_f = 3%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 58, 43, 22, 31, 27, 33.

n = 6

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 59?

μ = 50σ = 15x = 59

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05

σ =

12.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = −2X + 4. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 4

σ_Y =

13.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9586. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9586

z =

14.Distribuição normalDifícil

As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 5% delas (o percentil 5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = pontos

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 12 itens tem média 58,5 e desvio-padrão s = 2. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 12x̄ = 58,5s = 290%t(11) = 1,796

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 40. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?

σ = 40E = 395%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 71,1 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,1s = 15n = 100

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 20. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 20E = 195%

n =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 36Σy = 417Σx² = 286Σy² = 30315Σxy = 2807

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 26,56 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,25/2 = 0,125

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,125)² − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%

Resposta

EAR = 26,56%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 132026 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·18 = 216

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3,641 − 1)/0,006 = €132 026,17

Resposta

FV = €132 026,17

Pôs €64 800 do seu bolso; o resto são juros.

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 10074 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente dos fluxos de caixa anuais

11 500·4,917 = 56 549,23

Valor presente do valor residual

5 000/1,419 = 3 524,80

NPV

NPV = −50 000 + 56 549,23 + 3 524,80 = €10 074,03

Resposta

NPV = €10 074,03

4.VAL e TIR

Resposta: NPV = −38354 €

Valor presente da anuidade crescente

((1,05)/(1,12))⁷ = 0,6365

PV = 21 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6365) = 111 646,19

NPV

NPV = 111 646,19 − 150 000 = −€38 353,81

Resposta

NPV = −€38 353,81

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1029 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,0275, N = 14

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €344,73

Valor presente do valor de face

€1 000·0,684 = €684,00

Preço

P = €1 028,73

Resposta

P = €1 028,73

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 5,038 %

Equação do rendimento

€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Resolva numericamente

P(5%) = €942,14, P(6%) = €888,35

YTM = 5,038%

Resposta

YTM = 5,038%

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,883 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,21) = 7,883%

Resposta

WACC = 7,883%

8.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 16,02 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,3/(1 + 0,742·0,5) = 0,9482

Realavanque com o novo D/E

β_L = 0,9482·(1 + 0,742·1,5) = 2,004

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 2,004·6,5% = 16,02%

Resposta

r_e = 16,02%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,99

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 214/6 = 35,67

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 22,33² + 7,333² + (−13,67)² + (−4,667)² + (−8,667)² + (−2,667)² = 843,3

Desvio-padrão

s = √(843,3/5) = 12,99

Resposta

s = 12,99

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,2743

Padronizar

z = 0,6

Tabela da normal padrão

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Resposta

P = 0,2743

11.Probabilidades

Resposta: σ = 9,097

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 10·0,3 + 20·0,3 + 30·0,35 + 40·0,05 = 21,5

Média dos quadrados

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,3 + 900·0,35 + 1600·0,05 = 545

Variância

Var(X) = 545 − 21,5² = 82,75

σ = √82,75 = 9,097

Resposta

σ = 9,097

12.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 1,609

Dispersão de X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Mudança linear

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Resposta

σ_Y = 1,609

A média de fato se desloca: E(Y) = −2·1,05 + 4 = 1,9.

13.Distribuição normal

Resposta: z = 2,04

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9586)/2 = 0,9793

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9793 dentro da tabela e leia z.

z = 2,04

Resposta

z = 2,04

14.Distribuição normal

Resposta: x = 75,33 pontos

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

De volta a x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 pontos

Resposta

x = 75,33 pontos

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 57,46

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margem de erro

E = 1,796·2/√12 = 1,037

Intervalo

58,5 ± 1,037 → [57,46, 59,54]

Resposta

limite inferior = 57,46

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 683

Resolver em ordem a n

n = (1,96·40/3)² = 683

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 683

Resposta

n = 683

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,6

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Estatística de teste

t = (71,1 − 75)/1,5 = −2,6

Resposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 1537

Resolver em ordem a n

n = (1,96·20/1)² = 1537

Arredondar para cima

n = 1537

Resposta

n = 1537

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9983

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 2807 − 36·417/6 = 305

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 30315 − 417²/6 = 1334

Coeficiente de correlação

r = 305/√(70·1334) = 0,9983

Resposta

r = 0,9983

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 9,333

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 60/5 = 12

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Reta de regressão

b = 48/40 = 1,2

a = 12 − 1,2·6 = 4,8

ŷ = 4,8 + 1,2·x

Resolver para x

x = (16 − 4,8)/1,2 = 9,333

Resposta

x = 9,333

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