Investe €8 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.
PV = €8 0002% / 12n = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 5,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €150 0005,4% / 12N = 240
I = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €17 000, €28 000, €15 000, €22 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €11 500, €9 000, €11 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 9 000CF3 = 11 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 5 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 023 quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 5P = €1 023YTM = 2,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 6 anos e é vendido por €930. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €12 000 000, ações preferenciais no valor de €1 500 000 e dívida no valor de €3 000 000. O custo do capital próprio é 13%, o custo das ações preferenciais 8% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 12%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 12 anos até o vencimento) negociados a €1 100 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 171,35 e 181,5 cm? Dê P em forma decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 171,35x2 = 181,5
P =
14.Distribuição normalDifícil
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 25% delas (o percentil 25).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 10 itens tem média 45,5 e desvio-padrão s = 12,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 10x̄ = 45,5s = 12,595%t(9) = 2,262
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?
σ = 9E = 2,599%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
15 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 3,21 e o desvio-padrão das diferenças é 6,9. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 3,21sd = 6,9
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 72 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 178 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 72n₁ = 120x₂ = 178n₂ = 250
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (2,5, 60). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 60)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 9201 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 17 000/1,1 = 15 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 28 000/1,21 = 23 140,50
CF3/(1 + 0,1)3 = 15 000/1,331 = 11 269,72
CF4/(1 + 0,1)4 = 22 000/1,464 = 15 026,30
Somar
NPV = €4 891,06
Resposta
NPV = €4 891,06
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 13,46 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(10%) = 1 532,68
NPV(15%) = −633,27
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,025)−5 = €883,85
Cupom
C = (1023 − 883,85)/4,646 = €29,95
Taxa de cupom
c = 29,95/1000 = 2,995%
Resposta
c = 2,995%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,491 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,491%
Resposta
YTM = 7,491%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,86 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (387,5 − 500)/75 = −1,5
Resposta
z = −1,5
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,09091
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091
Resposta
P = 0,09091
12.Probabilidades
Resposta: σY = 5,54
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 26,5, Var(X) = 122,8, σX = 11,08
Mudança linear
σY = |0,5|·11,08 = 5,54
Resposta
σY = 5,54
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·26,5 + 10 = 23,25.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,5204
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5
Área entre os valores
P = Φ(0,5) − Φ(−0,95) = 0,6915 − 0,1711 = 0,5204
Resposta
P = 0,5204
14.Distribuição normal
Resposta: x = 173,3 cm
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
De volta a x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Resposta
x = 173,28 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 54,44
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Margem de erro
E = 2,262·12,5/√10 = 8,941
Intervalo
45,5 ± 8,941 → [36,56, 54,44]
Resposta
limite superior = 54,44
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 86
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·9/2,5)² = 86
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 86
Resposta
n = 86
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,802
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 6,9/√15 = 1,782
Estatística de teste
t = 3,21/1,782 = 1,802
Resposta
t = 1,802
Com gl = 14, o valor crítico bilateral a 5% é 2,145; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,154
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 72/120 = 0,6
p̂₂ = 178/250 = 0,712
p̂ = 250/370 = 0,6757
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,6757·0,3243·(1/120 + 1/250)) = 0,05199
Estatística de teste
z = (0,6 − 0,712)/0,05199 = −2,154
Resposta
z = −2,154
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9762
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 257/6 = 42,83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 332,8
Coeficiente de correlação
r = 74,5/√(17,5·332,8) = 0,9762
Resposta
r = 0,9762
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 3,35
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 329/5 = 65,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
Reta de regressão
b = 61/10 = 6,1
a = 65,8 − 6,1·4 = 41,4
ŷ = 41,4 + 6,1·x
Valor previsto
ŷ = 41,4 + 6,1·2,5 = 56,65
Resíduo
e = 60 − 56,65 = 3,35
Resposta
e = 3,35
O ponto está acima da reta.
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