Precisa de €10 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0002% / 12n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €150 0003,6% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €24 000, €20 000, €17 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €15 000 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 10. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €15 000g = 3%n = 10r = 8%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3,5% para 1,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 2%n = 7y1 = 3,5%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) é vendido a €1 298. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 050. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%P = €1 298preço de resgate = €1 050resgate em 3 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €32,50 cada e 5 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 0,8, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 8%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 13, 16, 48, 21, 52.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está abaixo de 68?
μ = 60σ = 20x = 68
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 6? A ordem não interessa.
n = 6k = 2
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?
n = 10p = 0,6k = 3
P =
13.Distribuição normalMédia
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 167,15 e 185 cm? Dê P em forma decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 185
P =
14.Distribuição normalDifícil
A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 itens tem média 35,5 e desvio-padrão s = 2,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 16x̄ = 35,5s = 2,590%t(15) = 1,753
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Um estudo piloto sugere que cerca de 0,6 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,05?
p ≈ 0,6E = 0,0599%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
16 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 2,4 e o desvio-padrão das diferenças é 4,8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 2,4sd = 4,8
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 50 contra H₁: μ > 50 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 100; o desvio-padrão é conhecido e vale 30. Na realidade a média é 53,9. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.
μ₀ = 50μ = 53,9σ = 30n = 100α = 0,05
β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (23, 85). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(23, 85)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 8354 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·9 = 108
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,197 = €8 353,95
Resposta
PV = €8 353,95
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 759 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,4071
A = 150 000·0,003/(1 − 0,4071) = €759,00
Resposta
A = €759,00
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −5285 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 24 000/1,06 = 22 641,51
CF2/(1 + 0,06)2 = 20 000/1,124 = 17 799,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 17 000/1,191 = 14 273,53
Somar
NPV = €−5 285,03
Resposta
NPV = €−5 285,03
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −36748 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 124,7 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1298 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Resolva numericamente
y = 50%: €381,48
y = 50%: €381,48
YTC = 50%
Resposta
YTC = 50%
O rendimento até o vencimento é 2,997%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,589 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC
WACC = 0,7273·11% + 0,2727·3%·(1 − 0,28) = 8,589%
Resposta
WACC = 8,589%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,858 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 5 000 000·€32,50 = €162 500 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 0,8·5% = 7%
Pesos
V = €167 750 000, E/V = 0,9687, D/V = 0,0313
WACC
WACC = 0,9687·7% + 0,0313·3,5%·(1 − 0,3) = 6,858%
Resposta
WACC = 6,858%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 18,53
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 0,4
Tabela da normal padrão
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Resposta
P = 0,6554
11.Probabilidades
Resposta: N = 15
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Resposta
N = 15
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,04247
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
Área entre os valores
P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808
Resposta
P = 0,7808
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8413
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Padronizar
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 1,096
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Margem de erro
E = 1,753·2,5/√16 = 1,096
Resposta
E = 1,096
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 638
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 2,576²·0,6·0,4/0,05² = 637
Arredondar para cima
n = 638
Resposta
n = 638
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 4,8/√16 = 1,2
Estatística de teste
t = 2,4/1,2 = 2
Resposta
t = 2
Com gl = 15, o valor crítico bilateral a 5% é 2,131; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: β = 63,5 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 50 + 1,645·3 = 54,94
z sob a média verdadeira
z = (54,94 − 53,9)/3 = 0,345
Erro do tipo II
poder = P(Z > 0,345) = 36,5%
β = 100% − 36,5% = 63,5%
Resposta
β = 63,5%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9764
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 100,8
Coeficiente de correlação
r = −31/√(10·100,8) = −0,9764
Resposta
r = −0,9764
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −2,7
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 414/5 = 82,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196
Reta de regressão
b = 196/40 = 4,9
a = 82,8 − 4,9·22 = −25
ŷ = −25 + 4,9·x
Valor previsto
ŷ = −25 + 4,9·23 = 87,7
Resíduo
e = 85 − 87,7 = −2,7
Resposta
e = −2,7
O ponto está abaixo da reta.
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