Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 10 anos. A taxa de juros é 5% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €8 000i = 5%n = 10
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €100 000 daqui a 5 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €100 0006% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €100 000 hoje. Ela gera €24 000 no final de cada ano durante 5 anos e depois pode ser vendida por €20 000. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF = €24 000S = €20 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €80 000 retorna €15 000 no final de cada ano durante 6 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €80 000CF = €15 000n = 6
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 6 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 6y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 8 anos e é vendido por €910. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €10 000 000 e dívida no valor de €3 000 000. Seu WACC é 11,63%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €9,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 5%. Calcule o WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 5%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 23, 42, 32, 56, 29, 41.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Que proporção P dos valores está abaixo de 400?
μ = 500σ = 100x = 400
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €5 para jogar. Você ganha €20 com probabilidade 0,2 e €100 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €5€20: p = 0,2€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
X é normal com média 250 g e desvio padrão 4 g; Y é independente e normal com média 500 g e desvio padrão 9 g. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 740,2 g. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 740,2 g
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,04 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 30 celulares, média 46 h, desvio-padrão conhecido 5 h. Modelo 2: 80 celulares, média 43,5 h, desvio-padrão conhecido 19 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 36. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 36E = 290%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
10 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 4,08 e o desvio-padrão das diferenças é 4,3. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 4,08sd = 4,3
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 50 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 37 de 100 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 37n₂ = 100
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 80?
n = 6ŷ = 80
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 61774 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6139)/0,05 = 7,722
Valor atual
PV = 8 000·7,722 = €61 773,88
Resposta
PV = €61 773,88
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1433 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−6)/i = 80 000/15 000 = 5,333
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 3%: 5,417
i = 4%: 5,242
IRR = 3,473%
Resposta
IRR = 3,473%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 5,819 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,539%
Resposta
YTM = 7,539%
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 13,99 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
Parte da dívida no WACC
0,2308·5%·(1 − 0,25) = 0,8654%
Custo do capital próprio
re = (11,63% − 0,8654%)/0,7692 = 13,99%
Resposta
re = 13,99%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,668 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1
Tabela da normal padrão
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Resposta
P = 0,1587
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,028
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,85
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,45
Variância
Var(X) = 4,45 − 1,85² = 1,028
Resposta
Var(X) = 1,028
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = 4 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 15 (p = 0,2), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)
Valor esperado
E(G) = 15·0,2 + 95·0,05 − 5·0,75 = 4 €
Resposta
E(G) = 4 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8413
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Padronizar
z = (740,2 − 750)/9,849 = −1
Cauda superior
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9868
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Padronizar
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Resposta
P = 0,9868
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 6,303 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 46 − 43,5 = 2,5
Erro-padrão
SE = √(5²/30 + 19²/80) = 2,312
Margem de erro
E = 1,645·2,312 = 3,803
Intervalo
2,5 ± 3,803 → [−1,303, 6,303]
Resposta
limite superior = 6,303 h
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 877
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·36/2)² = 876,8
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 877
Resposta
n = 877
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 4,3/√10 = 1,36
Estatística de teste
t = 4,08/1,36 = 3
Resposta
t = 3
Com gl = 9, o valor crítico bilateral a 5% é 2,262; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 1,854
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 50/100 = 0,5
p̂₂ = 37/100 = 0,37
p̂ = 87/200 = 0,435
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,435·0,565·(1/100 + 1/100)) = 0,07011
Estatística de teste
z = (0,5 − 0,37)/0,07011 = 1,854
Resposta
z = 1,854
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9938
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 453/5 = 90,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1633
Coeficiente de correlação
r = 381/√(90·1633) = 0,9938
Resposta
r = 0,9938
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 18,61
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 616/6 = 102,7
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 606
Reta de regressão
b = 606/157,5 = 3,848
a = 102,7 − 3,848·24,5 = 8,4
ŷ = 8,4 + 3,848·x
Resolver para x
x = (80 − 8,4)/3,848 = 18,61
Resposta
x = 18,61
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