Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €8 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 4,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €150 no fim de cada mês durante 7 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1504,2% / 12N = 84
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €24 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €250 000CF1 = €24 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €40 000 e devolve €29 000, €21 000, €28 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 21 000CF3 = 28 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 6% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 6%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 9 anos e é vendido por €1 150. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 9P = €1 150
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €49,00 cada e 10 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 7%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 46, 27, 23, 35, 25, 37, 32.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está abaixo de 64?
μ = 70σ = 12x = 64
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 12 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 12p = 0,5
P =
13.Distribuição normalMédia
As massas de sacos de cimento são independentes e normais com média 25 kg e desvio padrão 0,5 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 12 deles exceder 300,9 kg. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 300,9 kg
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,04 mm e desvio padrão 0,02 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 50 celulares, média 44,5 h, desvio-padrão conhecido 19 h. Modelo 2: 80 celulares, média 34 h, desvio-padrão conhecido 3 h. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 30. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?
σ = 30E = 2,599%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 60 peças tem comprimento médio de 83,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 7 mm. Linha 2: uma amostra de 30 peças tem média de 85,3 mm, desvio-padrão conhecido de 13 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 5 unidades com poder de 90%. O desvio-padrão é 16. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 71?
n = 5ŷ = 71
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 266667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 24 000/(0,1 − 0,02) = 300 000,00
NPV
NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00
Resposta
NPV = €50 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 43,61 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 1 814,87
NPV(45%) = −663,41
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,03, N = 20
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,5537)/0,03 = €371,94
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5537 = €553,68
Preço
P = €925,61
Resposta
P = €925,61
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,984 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(3%) = €1 233,58, P(4%) = €1 148,71
YTM = 3,984%
Resposta
YTM = 3,984%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,156 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·13% + 0,625·7%·(1 − 0,25) = 8,156%
Resposta
WACC = 8,156%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,277 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,5
Tabela da normal padrão
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Resposta
P = 0,3085
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 118,8
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,512 = 0,0002441
P(X = 1) = 12·0,5·0,511 = 0,00293
Some
P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174
Resposta
P = 0,003174
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,3015
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 300 kg, σT = 0,5·√12 = 1,732 kg
Padronizar
z = (300,9 − 300)/1,732 = 0,52
Probabilidades
P = 1 − Φ(0,52) = 0,3015
Resposta
P = 0,3015
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9207
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm
Padronizar
z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Resposta
P = 0,9207
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 5,193 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 44,5 − 34 = 10,5
Erro-padrão
SE = √(19²/50 + 3²/80) = 2,708
Margem de erro
E = 1,96·2,708 = 5,307
Intervalo
10,5 ± 5,307 → [5,193, 15,81]
Resposta
limite inferior = 5,193 h
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 956
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·30/2,5)² = 955,6
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 956
Resposta
n = 956
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −0,7087
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(7²/60 + 13²/30) = √6,45 = 2,54
Estatística de teste
z = (83,5 − 85,3)/2,54 = −0,7087
Resposta
z = −0,7087
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 88
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = ((1,645 + 1,282)·16/5)² = 87,73
Arredondar para cima
n = 88
Resposta
n = 88
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9734
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 119/6 = 19,83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 180,8
Coeficiente de determinação
r² = −55,5²/(17,5·180,8) = 0,9734
Resposta
r² = 0,9734
Cerca de 97,34% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 18,04
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 415/5 = 83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Reta de regressão
b = 162/40 = 4,05
a = 83 − 4,05·21 = −2,05
ŷ = −2,05 + 4,05·x
Resolver para x
x = (71 − (−2,05))/4,05 = 18,04
Resposta
x = 18,04
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