Uma anuidade paga €3 000 no final de cada ano durante 4 anos. A taxa de juros é 4% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €3 000i = 4%n = 4
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 4? Encontre o saldo devedor B.
P = €150 0002,4% / 12N = 300k = 48
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €17 000, €30 000, €22 000, €26 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €3 500, €7 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 7 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 8% para 7%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 15y1 = 8%y2 = 7%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 090 com rendimento até o vencimento de 5% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 5,7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 50 pontos-base.
P0 = €1 090y = 5%D = 5,7Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações negociadas a €32,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €12 800 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,80 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €16 000 000 e custo antes dos impostos de 4%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 25, 47, 50, 41, 44, 45.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está acima de 58?
μ = 70σ = 8x = 58
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €50 com probabilidade 0,1 e €100 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €10€50: p = 0,1€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,6778. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,6778
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 85% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 20 itens tem média 93 e desvio-padrão s = 19,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 20x̄ = 93s = 19,595%t(19) = 2,093
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 21. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?
σ = 21E = 0,599%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 52,63 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,63s = 15n = 16
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 5 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 13. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 10.
n = 5x = 10
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 10890 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,8548)/0,04 = 3,63
Valor atual
PV = 3 000·3,63 = €10 889,69
Resposta
PV = €10 889,69
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 131611 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,002, N = 300
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−300) = €665,40
Valor presente das prestações restantes
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 300 − 48 = 252
B = 665,4·(1 − (1 + 0,002)−252)/0,002 = €131 610,81
Resposta
B = €131 610,81
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −3723 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 17 000/1,12 = 15 178,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 30 000/1,254 = 23 915,82
CF3/(1 + 0,12)3 = 22 000/1,405 = 15 659,17
CF4/(1 + 0,12)4 = 26 000/1,574 = 16 523,47
Somar
NPV = €−3 722,98
Resposta
NPV = €−3 722,98
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 5,853 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 136,05
NPV(10%) = −619,83
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 5 + 5·136,05/(136,05 − (−619,83)) = 5,9%
exato: NPV(5,853%) = 0 → IRR = 5,853%
Resposta
IRR = 5,853%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 85,59 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 5,7/1,05 = 5,429
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −5,429·(0,005) = −2,714%
P ≈ 1090·(1 − 0,02714) = €1 060,41
Resposta
P = €1 060,41
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 12,31 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·7%·(1 − 0,21) = 12,31%
Resposta
WACC = 12,31%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,217 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,5
Tabela da normal padrão
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
11.Probabilidades
Resposta: σ = 2,488
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,35 = 2,9
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,35 = 14,6
Variância
Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19
σ = √6,19 = 2,488
Resposta
σ = 2,488
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = −4 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 40 (p = 0,1), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Valor esperado
E(G) = 40·0,1 + 90·0,01 − 10·0,89 = −4 €
Resposta
E(G) = −4 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 0,99
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,6778)/2 = 0,8389
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,8389 dentro da tabela e leia z.
z = 0,99
Resposta
z = 0,99
14.Distribuição normal
Resposta: x = 255,2 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,85
z da tabela
z ≈ 1,04
De volta às unidades originais
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Resposta
x = 255,2 g
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 9,126
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margem de erro
E = 2,093·19,5/√20 = 9,126
Resposta
E = 9,126
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 11706
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·21/0,5)² = 11706
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 11706
Resposta
n = 11706
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 0,7013
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Estatística de teste
t = (52,63 − 50)/3,75 = 0,7013
Resposta
t = 0,7013
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 42
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = ((1,645 + 0,842)·13/5)² = 41,81
Arredondar para cima
n = 42
Resposta
n = 42
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9496
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 268/5 = 53,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 309
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1117
Coeficiente de determinação
r² = 309²/(90·1117) = 0,9496
Resposta
r² = 0,9496
Cerca de 94,96% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 87,7
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 350/5 = 70
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Reta de regressão
b = 236/40 = 5,9
a = 70 − 5,9·7 = 28,7
ŷ = 28,7 + 5,9·x
Previsão
ŷ = 28,7 + 5,9·10 = 87,7
Resposta
ŷ = 87,7
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.