Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €10 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 4% ao ano para sempre. O retorno exigido é 6% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €10 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 30 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €50 000 hoje e retorna €14 500, €22 000, €11 500, €19 000, €15 000, €17 500 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 10%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €50 000 e devolve €28 000, €28 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 28 000CF2 = 28 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 3%YTM = 5%n = 3
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 9 anos e é vendido por €1 120. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 0,6 tem retorno exigido de 5,3%. A taxa livre de risco é 2%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 0,6re = 5,3%rf = 2%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €40,00 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 6,5%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 6,5%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 18, 15, 18, 20, 23, 30, 48.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 92.
μ = 100σ = 8x = 92
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,2, 0,35, 0,1
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 12 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?
n = 12p = 0,1k = 1
P =
13.Distribuição normalMédia
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 169,6 e 192,35 cm? Dê P em forma decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 169,6x2 = 192,35
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 20% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 10 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 4,9 e desvio-padrão 4,4. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.
n = 10d̄ = 4,9sd = 4,490%t(9) = 1,833
limite inferior = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
Os diâmetros de 16 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 9,6 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 15, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 6,262 e 2,5% fica acima de 27,488.
n = 16s = 9,6 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 113,8 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 113,8s = 12n = 36
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 64 medições tem média 198,8. O desvio-padrão da população é 10. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 198,8σ = 10n = 6490%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 32?
n = 6ŷ = 32
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 500000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €1 222,54
Resposta
A = €1 222,54
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,77 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 14 500/1,1 = 13 181,82 → Σ = 13 181,82
ano 2: 22 000/1,21 = 18 181,82 → Σ = 31 363,64
ano 3: 11 500/1,331 = 8 640,12 → Σ = 40 003,76
ano 4: 19 000/1,464 = 12 977,26 → Σ = 52 981,01
Fração do último ano
DPB = 3 + 9 996,24/12 977,26 = 3,77
Resposta
DPB = 3,77 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,105 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 7,9 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 2 063,49
NPV(10%) = −1 404,96
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €15,00, i = 0,025, N = 6
Valor presente dos cupons
€15,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €82,62
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8623 = €862,30
Preço
P = €944,92
Resposta
P = €944,92
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 2,495 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(2%) = €1 163,24, P(3%) = €1 077,86
YTM = 2,495%
Resposta
YTM = 2,495%
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (5,3% − 2%)/0,6 = 5,5%
Retorno do mercado
rm = 2% + 5,5% = 7,5%
Resposta
rm = 7,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,685 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (92 − 100)/8 = −1
Resposta
z = −1
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,7
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 1) = 12·0,11·0,911 = 12·0,1·0,3138 = 0,3766
Resposta
P = 0,3766
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8647
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05
Área entre os valores
P = Φ(2,05) − Φ(−1,2) = 0,9798 − 0,1151 = 0,8647
Resposta
P = 0,8647
14.Distribuição normal
Resposta: x = 172,1 cm
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,2
z da tabela
z ≈ −0,84
De volta às unidades originais
x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm
Resposta
x = 172,1 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 2,35 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 9, t = 1,833
Margem de erro
E = 1,833·4,4/√10 = 2,55
Intervalo
4,9 ± 2,55 → [2,35, 7,45]
Resposta
limite inferior = 2,35 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: σ = 14,86 µm
Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.
Soma de quadrados
(n − 1)s² = 15·9,6² = 1382
Limites para σ²
1382/27,488 = 50,29
1382/6,262 = 220,8
Limite para σ
σ = √220,8 = 14,86 µm
Resposta
σ = 14,86 µm
Intervalo de 95% para σ: [7,092, 14,86] µm.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,1
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Estatística de teste
t = (113,8 − 120)/2 = −3,1
Resposta
t = −3,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 200,9
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·10/√64 = 2,056
Limite do intervalo
U = 198,8 + 2,056 = 200,9
Resposta
U = 200,9
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9205
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 35,2
Coeficiente de determinação
r² = −18²/(10·35,2) = 0,9205
Resposta
r² = 0,9205
Cerca de 92,05% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 3,327
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 211/6 = 35,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 25,5
Reta de regressão
b = 25,5/17,5 = 1,457
a = 35,17 − 1,457·5,5 = 27,15
ŷ = 27,15 + 1,457·x
Resolver para x
x = (32 − 27,15)/1,457 = 3,327
Resposta
x = 3,327
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