Precisa de €10 000 daqui a 3 anos. Uma conta rende 6 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0006% / 4n = 3
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €150 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €19 000, €13 000, €26 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €200 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €45 000 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 4. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €200 000CF1 = €45 000g = 4%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 6%YTM = 8%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 13 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 137. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 5 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%P = €1 137preço de resgate = €1 070resgate em 5 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1,4 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,4. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,75. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco 2,5% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 17, 29, 29, 51, 56, 30, 36.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 10. Calcule a pontuação z z de uma nota de 50.
μ = 70σ = 10x = 50
z =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 6? A ordem não interessa.
n = 6k = 2
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €5 para jogar. Você ganha €15 com probabilidade 0,15 e €50 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €5€15: p = 0,15€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8611. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,8611
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 60% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos60%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 12 itens tem média 111 e desvio-padrão s = 14. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 12x̄ = 111s = 1499%t(11) = 3,106
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 95% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,04?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 11 alunos, nota média 93,5, desvio-padrão 12. Grupo 2: 11 alunos, nota média 100,7, desvio-padrão 3,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 49 medições tem média 502,1. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 502,1σ = 5n = 4990%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 6.
n = 6x = 6
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 8364 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·3 = 12
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,196 = €8 363,87
Resposta
PV = €8 363,87
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 808,4 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 150 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €808,41
Resposta
A = €808,41
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −16553 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 19 000/1,15 = 16 521,74
CF2/(1 + 0,15)2 = 13 000/1,322 = 9 829,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 26 000/1,521 = 17 095,42
Somar
NPV = €−16 552,97
Resposta
NPV = €−16 552,97
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −42366 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 864,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, i = 0,04, N = 20
Valor presente dos cupons
€30,00·(1 − 0,4564)/0,04 = €407,71
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4564 = €456,39
Preço
P = €864,10
Resposta
P = €864,10
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 5,092 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1137 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Resolva numericamente
y = 5%: €1 141,44
y = 6%: €1 094,43
YTC = 5,092%
Resposta
YTC = 5,092%
O rendimento até o vencimento é 5,498%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,284 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,4/(1 + 0,79·0,4) = 1,064
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,064·(1 + 0,79·0,75) = 1,694
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,694·6,5% = 13,51%
Resposta
re = 13,51%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 13,65
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (50 − 70)/10 = −2
Resposta
z = −2
11.Probabilidades
Resposta: N = 15
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Resposta
N = 15
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,25 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 10 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
Valor esperado
E(G) = 10·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = −0,25 €
Resposta
E(G) = −0,25 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,48
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,8611)/2 = 0,9306
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9306 dentro da tabela e leia z.
z = 1,48
Resposta
z = 1,48
14.Distribuição normal
Resposta: x = 96,3 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,4
z da tabela
z ≈ −0,25
De volta às unidades originais
x = 100 − 0,25·15 = 96,3 pontos
Resposta
x = 96,3 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 12,55
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Margem de erro
E = 3,106·14/√12 = 12,55
Resposta
E = 12,55
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Arredondar para cima
n = 601
Resposta
n = 601
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,91
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (10·12² + 10·3,5²)/20 = 78,13
sp = 8,839
Erro-padrão
SE = 8,839·√(1/11 + 1/11) = 3,769
Estatística de teste
t = (93,5 − 100,7)/3,769 = −1,91
Resposta
t = −1,91
Com gl = 20, o valor crítico bilateral a 5% é 2,086; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 503,3
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·5/√49 = 1,175
Limite do intervalo
U = 502,1 + 1,175 = 503,3
Resposta
U = 503,3
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9708
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 412/6 = 68,67
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250
Syy = Σ(y − ȳ)² = 947,3
Coeficiente de correlação
r = 250/√(70·947,3) = 0,9708
Resposta
r = 0,9708
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 75,6
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 528/6 = 88
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 434
Reta de regressão
b = 434/70 = 6,2
a = 88 − 6,2·8 = 38,4
ŷ = 38,4 + 6,2·x
Previsão
ŷ = 38,4 + 6,2·6 = 75,6
Resposta
ŷ = 75,6
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