Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €15 000 daqui a 4 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €15 0003% / 4n = 4

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €300 no fim de cada mês durante 12 anos. A conta rende 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €3007,2% / 12N = 144

FV = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €20 000, €18 000, €11 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 20 000CF₂ = 18 000CF₃ = 11 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €15 000, €14 000, €14 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 15 000CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 5%n = 9

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 7 anos e é vendido por €1 115. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 7%n = 7P = €1 115

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €13,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 5%. Calcule o WACC.

β = 1,3r_f = 1%r_m = 5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 11, 45, 16, 41, 45.

n = 5

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Que proporção P dos valores está abaixo de 650?

μ = 500σ = 100x = 650

P =

11.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 6

P =

12.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 8 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?

n = 8p = 0,5k = 1

P =

13.Distribuição normalMédia

As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 244 e 255 g? Dê P em forma decimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 255

P =

14.Distribuição normalDifícil

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 7 itens tem média 22,5 e desvio-padrão s = 15. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 7x̄ = 22,5s = 1590%t(6) = 1,943

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?

σ = 9E = 499%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 53 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53s = 15n = 36

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1,5? O desvio-padrão é 20. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 20E = 1,599%

n =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 13310 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·4 = 16

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,127 = €13 309,76

Resposta

PV = €13 309,76

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 68326 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·12 = 144

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2,367 − 1)/0,006 = €68 325,74

Resposta

FV = €68 325,74

Pôs €43 200 do seu bolso; o resto são juros.

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = −123,6 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 20 000/1,05 = 19 047,62

CF₂/(1 + 0,05)² = 18 000/1,103 = 16 326,53

CF₃/(1 + 0,05)³ = 11 000/1,158 = 9 502,21

Somar

NPV = €−123,64

Resposta

NPV = €−123,64

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 51,62 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(50%) = 370,37

NPV(55%) = −735,79

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 50 + 5·370,37/(370,37 − (−735,79)) = 51,67%

exato: NPV(51,62%) = 0 → IRR = 51,62%

Resposta

IRR = 51,62%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1072 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,025, N = 18

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €430,60

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6412 = €641,17

Preço

P = €1 071,77

Resposta

P = €1 071,77

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 5,012 %

Equação do rendimento

€1 115 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Resolva numericamente

P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82

YTM = 5,012%

Resposta

YTM = 5,012%

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,542 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·14% + 0,5455·3%·(1 − 0,28) = 7,542%

Resposta

WACC = 7,542%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 4,748 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€13,50 = €54 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,3·4% = 6,2%

Pesos

V = €96 000 000, E/V = 0,5625, D/V = 0,4375

WACC

WACC = 0,5625·6,2% + 0,4375·4%·(1 − 0,28) = 4,748%

Resposta

WACC = 4,748%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 16,7

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 158/5 = 31,6

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−20,6)² + 13,4² + (−15,6)² + 9,4² + 13,4² = 1115

Desvio-padrão

s = √(1115/4) = 16,7

Resposta

s = 16,7

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9332

Padronizar

z = 1,5

Tabela da normal padrão

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Resposta

P = 0,9332

11.Probabilidades

Resposta: P = 0,6651

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Resposta

P = 0,6651

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,03125

Fórmula binomial

P(X = 1) = 8·0,5¹·0,5⁷ = 8·0,5·0,007813 = 0,03125

Resposta

P = 0,03125

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7263

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Área entre os valores

P = Φ(1) − Φ(−1,2) = 0,8413 − 0,1151 = 0,7263

Resposta

P = 0,7263

14.Distribuição normal

Resposta: x = 169 cm

z do percentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

De volta a x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Resposta

x = 169,03 cm

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 11,48

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Margem de erro

E = 1,943·15/√7 = 11,02

Intervalo

22,5 ± 11,02 → [11,48, 33,52]

Resposta

limite inferior = 11,48

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 34

Resolver em ordem a n

n = (2,576·9/4)² = 33,59

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 34

Resposta

n = 34

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 1,2

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Estatística de teste

t = (53 − 50)/2,5 = 1,2

Resposta

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 1180

Resolver em ordem a n

n = (2,576·20/1,5)² = 1180

Arredondar para cima

n = 1180

Resposta

n = 1180

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,8385

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 250/6 = 41,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 105,3

Coeficiente de correlação

r = 36/√(17,5·105,3) = 0,8385

Resposta

r = 0,8385

20.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 12,2

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 151/6 = 25,17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227

Reta de regressão

b = 227/70 = 3,243

a = 25,17 − 3,243·7 = 2,467

ŷ = 2,467 + 3,243·x

Previsão

ŷ = 2,467 + 3,243·3 = 12,2

Resposta

ŷ = 12,2

Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income