Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 12 anos. A taxa de juros é 7% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €8 000i = 7%n = 12
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €28 000, €31 000, €31 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um investimento de €25 000 retorna €7 500 no final de cada ano durante 6 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €25 000CF = €7 500n = 6
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 3 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 8%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 3y0 = 8%y1 = 7%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 8 anos e é vendido por €1 140. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 8P = €1 140
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €19,50 cada e 10 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 1%rm = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 12, 60, 40, 55, 35.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 75. Que proporção P dos valores está abaixo de 425?
μ = 500σ = 75x = 425
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €50 com probabilidade 0,2 e €500 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está entre 22,4 e 35 min? Dê P em forma decimal.
μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 35
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 70% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos70%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 40 celulares, média 46,5 h, desvio-padrão conhecido 19 h. Modelo 2: 50 celulares, média 57,5 h, desvio-padrão conhecido 20 h. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 40. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?
σ = 40E = 490%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 15 alunos, nota média 46,5, desvio-padrão 3. Grupo 2: 11 alunos, nota média 40,5, desvio-padrão 7. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 15x̄₁ = 46,5s₁ = 3n₂ = 11x̄₂ = 40,5s₂ = 7
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 10. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 10E = 0,599%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 5Σx = 30Σy = 96Σx² = 220Σy² = 2132Σxy = 682
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (9, 10). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(9, 10)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 63541 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,444)/0,07 = 7,943
Valor atual
PV = 8 000·7,943 = €63 541,49
Resposta
PV = €63 541,49
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1622 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3836
A = 250 000·0,004/(1 − 0,3836) = €1 622,39
Resposta
A = €1 622,39
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 6564 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 28 000/1,05 = 26 666,67
CF2/(1 + 0,05)2 = 31 000/1,103 = 28 117,91
CF3/(1 + 0,05)3 = 31 000/1,158 = 26 778,97
Somar
NPV = €6 563,55
Resposta
NPV = €6 563,55
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 19,91 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−6)/i = 25 000/7 500 = 3,333
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 19%: 3,41
i = 20%: 3,326
IRR = 19,91%
Resposta
IRR = 19,91%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 9,933 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(3%) = €1 140,39, P(4%) = €1 067,33
YTM = 3,005%
Resposta
YTM = 3,005%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,511 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1
Tabela da normal padrão
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Resposta
P = 0,1587
11.Probabilidades
Resposta: σ = 12,85
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)
Valor esperado
E(G) = 40·0,2 + 490·0,01 − 10·0,79 = 5 €
Resposta
E(G) = 5 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,6367
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5
Área entre os valores
P = Φ(0,5) − Φ(−1,6) = 0,6915 − 0,0548 = 0,6367
Resposta
P = 0,6367
14.Distribuição normal
Resposta: x = 107,8 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,7
z da tabela
z ≈ 0,52
De volta às unidades originais
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 pontos
Resposta
x = 107,8 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = −21,63 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 46,5 − 57,5 = −11
Erro-padrão
SE = √(19²/40 + 20²/50) = 4,126
Margem de erro
E = 2,576·4,126 = 10,63
Intervalo
−11 ± 10,63 → [−21,63, −0,3711]
Resposta
limite inferior = −21,63 h
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 271
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·40/4)² = 270,6
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 271
Resposta
n = 271
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 2,983
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (14·3² + 10·7²)/24 = 25,67
sp = 5,066
Erro-padrão
SE = 5,066·√(1/15 + 1/11) = 2,011
Estatística de teste
t = (46,5 − 40,5)/2,011 = 2,983
Resposta
t = 2,983
Com gl = 24, o valor crítico bilateral a 5% é 2,064; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 2655
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (2,576·10/0,5)² = 2654
Arredondar para cima
n = 2655
Resposta
n = 2655
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9862
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 682 − 30·96/5 = 106
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2132 − 96²/5 = 288,8
Coeficiente de correlação
r = 106/√(40·288,8) = 0,9862
Resposta
r = 0,9862
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,833
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 65/6 = 10,83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 105
Reta de regressão
b = 105/70 = 1,5
a = 10,83 − 1,5·7 = 0,3333
ŷ = 0,3333 + 1,5·x
Valor previsto
ŷ = 0,3333 + 1,5·9 = 13,83
Resíduo
e = 10 − 13,83 = −3,833
Resposta
e = −3,833
O ponto está abaixo da reta.
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