Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 25% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 25%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0005,4% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €21 000, €18 000, €22 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €10 000 e retorna €5 000, €4 000, €2 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €12 000 e retorna €3 000, €4 500, €6 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 vence em 5 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 045 quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 5P = €1 045YTM = 4%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 075 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 6,8 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 50 pontos-base.
P0 = €1 075y = 6%D = 6,8Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €42,00 cada e 40 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 5,5%. Calcule o WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 5,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 34, 10, 26, 48, 25, 53.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Que proporção P dos valores está acima de 420?
μ = 500σ = 100x = 420
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €9 com probabilidade 0,25 e €150 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €3€9: p = 0,25€150: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,4843. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,4843
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 5% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos5%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 6 itens tem média 109,5 e desvio-padrão s = 19,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 6x̄ = 109,5s = 19,590%t(5) = 2,015
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 35. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
σ = 35E = 390%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 80 peças tem comprimento médio de 128 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 20 mm. Linha 2: uma amostra de 60 peças tem média de 130,5 mm, desvio-padrão conhecido de 3 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 150 de 300 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 65 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 65n₂ = 150
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3, 3). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(3, 3)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 28,39 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,25/365 = 0,0006849
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0006849)365 − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%
Resposta
EAR = 28,39%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1520 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,26
A = 250 000·0,0045/(1 − 0,26) = €1 520,32
Resposta
A = €1 520,32
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 3759 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 21 000/1,12 = 18 750,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 18 000/1,254 = 14 349,49
CF3/(1 + 0,12)3 = 22 000/1,405 = 15 659,17
Somar
NPV = €3 758,66
Resposta
NPV = €3 758,66
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 5,046 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 000 = −2 000
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
TIR da diferença
NPVΔ(5%) = 4,10
NPVΔ(6%) = −83,32
r* = 5,046%
Resposta
r* = 5,046%
Verificação: a 5,046% os dois VPLs valem €541,51.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 5,011 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,04)−5 = €821,93
Cupom
C = (1045 − 821,93)/4,452 = €50,11
Taxa de cupom
c = 50,11/1000 = 5,011%
Resposta
c = 5,011%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1041 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 6,8/1,06 = 6,415
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −6,415·(0,005) = −3,208%
P ≈ 1075·(1 − 0,03208) = €1 040,52
Resposta
P = €1 040,52
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,516 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·5%·(1 − 0,258) = 9,516%
Resposta
WACC = 9,516%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,374 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,8
Tabela da normal padrão
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Resposta
P = 0,7881
11.Probabilidades
Resposta: σ = 0,9434
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,9
Média dos quadrados
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,3
Variância
Var(X) = 9,3 − 2,9² = 0,89
σ = √0,89 = 0,9434
Resposta
σ = 0,9434
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = 0,75 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 6 (p = 0,25), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,74)
Valor esperado
E(G) = 6·0,25 + 147·0,01 − 3·0,74 = 0,75 €
Resposta
E(G) = 0,75 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 0,65
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,4843)/2 = 0,7422
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,7422 dentro da tabela e leia z.
z = 0,65
Resposta
z = 0,65
14.Distribuição normal
Resposta: x = 81,4 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,95
z da tabela
z ≈ 1,64
De volta às unidades originais
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 pontos
Resposta
x = 81,4 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 16,04
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Margem de erro
E = 2,015·19,5/√6 = 16,04
Resposta
E = 16,04
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 369
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·35/3)² = 368,3
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 369
Resposta
n = 369
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,102
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(20²/80 + 3²/60) = √5,15 = 2,269
Estatística de teste
z = (128 − 130,5)/2,269 = −1,102
Resposta
z = −1,102
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 1,335
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 150/300 = 0,5
p̂₂ = 65/150 = 0,4333
p̂ = 215/450 = 0,4778
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,4778·0,5222·(1/300 + 1/150)) = 0,04995
Estatística de teste
z = (0,5 − 0,4333)/0,04995 = 1,335
Resposta
z = 1,335
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9613
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 133/6 = 22,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 16,83
Coeficiente de correlação
r = −16,5/√(17,5·16,83) = −0,9613
Resposta
r = −0,9613
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −5,4
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 81/5 = 16,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Reta de regressão
b = 104/40 = 2,6
a = 16,2 − 2,6·6 = 0,6
ŷ = 0,6 + 2,6·x
Valor previsto
ŷ = 0,6 + 2,6·3 = 8,4
Resíduo
e = 3 − 8,4 = −5,4
Resposta
e = −5,4
O ponto está abaixo da reta.
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.