Precisa de €25 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €25 0002% / 12n = 5
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €3 000 no início de cada ano durante 15 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 5% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 15? Encontre FV.
A = €3 000i = 5%n = 15
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €6 000, €14 000, €9 000, €8 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €10 000 e retorna €5 500, €4 000, €2 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €12 000 e retorna €3 500, €4 500, €6 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 vence em 11 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €882 quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 11P = €882YTM = 6%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 5 anos e é vendido por €940. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,7. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,75. A alíquota de imposto é 28%, a taxa livre de risco é 1,5% e o prêmio de risco de mercado é 7%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,7D/E = 0,75T = 28%rf = 1,5%rm − rf = 7%
re = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 49, 30, 18, 53, 39.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 60. Que proporção P dos valores está acima de 590?
μ = 500σ = 60x = 590
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 5 pessoas num grupo de 7? A ordem não interessa.
n = 7k = 5
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 8 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,25, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?
n = 8p = 0,25k = 2
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0139. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,0139
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 60% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 90% para uma média, baseado em 100 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 11. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 95% com os mesmos dados?
90%n₁ = 100E₁ = 1195%
E₂ =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 34. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
σ = 34E = 395%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 200,7 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,7s = 10n = 100
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 63 de 250 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 20 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 63n₁ = 250x₂ = 20n₂ = 150
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 22623 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·5 = 60
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,105 = €22 622,82
Resposta
PV = €22 622,82
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 67972 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,05)15 − 1)/0,05 = 21,58
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 3 000·21,58·1,05 = €67 972,48
Resposta
FV = €67 972,48
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 2769 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 6 000/1,05 = 5 714,29
CF2/(1 + 0,05)2 = 14 000/1,103 = 12 698,41
CF3/(1 + 0,05)3 = 9 000/1,158 = 7 774,54
CF4/(1 + 0,05)4 = 8 000/1,216 = 6 581,62
Somar
NPV = €2 768,86
Resposta
NPV = €2 768,86
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 5,046 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 5 500 = −2 000
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
TIR da diferença
NPVΔ(5%) = 4,10
NPVΔ(6%) = −83,32
r* = 5,046%
Resposta
r* = 5,046%
Verificação: a 5,046% os dois VPLs valem €1 017,49.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 4,504 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,06)−11 = €526,79
Cupom
C = (882 − 526,79)/7,887 = €45,04
Taxa de cupom
c = 45,04/1000 = 4,504%
Resposta
c = 4,504%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,442 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(6%) = €957,88, P(7%) = €918,00
YTM = 6,442%
Resposta
YTM = 6,442%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 12,1 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·13% + 0,1111·7%·(1 − 0,3) = 12,1%
Resposta
WACC = 12,1%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 9,046 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,7·(1 + 0,72·0,75) = 1,078
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,078·7% = 9,046%
Resposta
re = 9,046%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 14,24
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,5
Tabela da normal padrão
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Resposta
P = 0,06681
11.Probabilidades
Resposta: N = 21
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21
Resposta
N = 21
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,3115
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,0139 = 0,9861
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9861 dentro da tabela e leia z.
z = 2,20
Resposta
z = 2,20
14.Distribuição normal
Resposta: x = 510 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,6
z da tabela
z ≈ 0,25
De volta às unidades originais
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Resposta
x = 510 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 13,11
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/100) = 1,191
Nova margem
E₂ = 11·1,191 = 13,11
Resposta
E₂ = 13,11
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 494
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·34/3)² = 493,4
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 494
Resposta
n = 494
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 0,7
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Estatística de teste
t = (200,7 − 200)/1 = 0,7
Resposta
t = 0,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 2,833
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 63/250 = 0,252
p̂₂ = 20/150 = 0,1333
p̂ = 83/400 = 0,2075
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,2075·0,7925·(1/250 + 1/150)) = 0,04188
Estatística de teste
z = (0,252 − 0,1333)/0,04188 = 2,833
Resposta
z = 2,833
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,7829
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 286/5 = 57,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32
Syy = Σ(y − ȳ)² = 130,8
Coeficiente de determinação
r² = 32²/(10·130,8) = 0,7829
Resposta
r² = 0,7829
Cerca de 78,29% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 10,85
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 146/6 = 24,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Reta de regressão
b = 236/70 = 3,371
a = 24,33 − 3,371·7 = 0,7333
ŷ = 0,7333 + 3,371·x
Previsão
ŷ = 0,7333 + 3,371·3 = 10,85
Resposta
ŷ = 10,85
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