Precisa de €50 000 daqui a 4 anos. Uma conta rende 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €50 0004% / 4n = 4
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2507,2% / 12N = 192
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €8 000 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €30 000 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 5. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €30 000g = 2%n = 5r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 2%) quando seu rendimento até o vencimento é 2,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 2%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2%n = 10y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 3 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
D/E = 1,5re = 10%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €5 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 4 anos até o vencimento) negociados a €1 056 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 10, 33, 14, 58, 60.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 12. Calcule a pontuação z z de uma nota de 188.
μ = 170σ = 12x = 188
z =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 4 bolas vermelhas e 4 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
4 / 4
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 7 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?
n = 7p = 0,3k = 3
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,7157. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,7157
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 15% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 100 celulares, média 149,5 h, desvio-padrão conhecido 20 h. Modelo 2: 60 celulares, média 150 h, desvio-padrão conhecido 10 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 5 parcelas, produção média 93,5 kg, desvio-padrão 9 kg. Grupo de parcelas 2: 7 parcelas, média 94 kg, desvio-padrão 4 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 6 alunos, nota média 102, desvio-padrão 5. Grupo 2: 16 alunos, nota média 104,1, desvio-padrão 3,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 6x̄₁ = 102s₁ = 5n₂ = 16x̄₂ = 104,1s₂ = 3,5
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 63 de 250 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 23 de 80 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 63n₁ = 250x₂ = 23n₂ = 80
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 67?
n = 5ŷ = 67
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 42641 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·4 = 16
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,173 = €42 641,06
Resposta
PV = €42 641,06
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 89735 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 8 000/1,08 = 7 407,41 → Σ = 7 407,41
ano 2: 8 000/1,166 = 6 858,71 → Σ = 14 266,12
ano 3: 8 000/1,26 = 6 350,66 → Σ = 20 616,78
ano 4: 8 000/1,36 = 5 880,24 → Σ = 26 497,01
ano 5: 8 000/1,469 = 5 444,67 → Σ = 31 941,68
Fração do último ano
DPB = 4 + 3 502,99/5 444,67 = 4,643
Resposta
DPB = 4,643 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,75 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −37946 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 6,668 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23
YTM = 4,544%
Resposta
YTM = 4,544%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,896 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·10% + 0,6·4%·(1 − 0,21) = 5,896%
Resposta
WACC = 5,896%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,916 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (188 − 170)/12 = 1,5
Resposta
z = 1,5
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,2143
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Resposta
P = 0,2143
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,2269
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,7157 = 0,2843
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,2843 dentro da tabela e leia z.
z = −0,57
Resposta
z = −0,57
14.Distribuição normal
Resposta: x = 542 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,85
z da tabela
z ≈ 1,04
De volta às unidades originais
x = 500 + 1,04·40 = 542 h
Resposta
x = 542 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 4,166 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 149,5 − 150 = −0,5
Erro-padrão
SE = √(20²/100 + 10²/60) = 2,38
Margem de erro
E = 1,96·2,38 = 4,666
Intervalo
−0,5 ± 4,666 → [−5,166, 4,166]
Resposta
limite superior = 4,166 h
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
16.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 11,53 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (4·9² + 6·4²)/10 = 42
sp = 6,481
Margem de erro
E = 3,169·6,481·√(1/5 + 1/7) = 12,03
Intervalo
−0,5 ± 12,03 → [−12,53, 11,53]
Resposta
limite superior = 11,53 kg
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,116
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (5·5² + 15·3,5²)/20 = 15,44
sp = 3,929
Erro-padrão
SE = 3,929·√(1/6 + 1/16) = 1,881
Estatística de teste
t = (102 − 104,1)/1,881 = −1,116
Resposta
t = −1,116
Com gl = 20, o valor crítico bilateral a 5% é 2,086; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −0,6296
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 63/250 = 0,252
p̂₂ = 23/80 = 0,2875
p̂ = 86/330 = 0,2606
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,2606·0,7394·(1/250 + 1/80)) = 0,05639
Estatística de teste
z = (0,252 − 0,2875)/0,05639 = −0,6296
Resposta
z = −0,6296
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9749
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 361/5 = 72,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 446,8
Coeficiente de determinação
r² = 66²/(10·446,8) = 0,9749
Resposta
r² = 0,9749
Cerca de 97,49% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 3,522
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 346/5 = 69,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46
Reta de regressão
b = 46/10 = 4,6
a = 69,2 − 4,6·4 = 50,8
ŷ = 50,8 + 4,6·x
Resolver para x
x = (67 − 50,8)/4,6 = 3,522
Resposta
x = 3,522
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