Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €20 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 3% ao ano para sempre. O retorno exigido é 6% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €20 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €5 000 a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €100 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €5 000A = €1004,8% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €500 000 hoje. Ele gera €32 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 9%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €500 000CF1 = €32 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €40 000 e devolve €21 000, €24 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 21 000CF2 = 24 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 9 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) quando seu rendimento até o vencimento é 9%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 9,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 9y0 = 9%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 7 anos e é vendido por €1 130. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 7P = €1 130
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €45,50 cada e 40 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 10%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 50, 46, 18, 41, 54.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 177,5?
μ = 170σ = 5x = 177,5
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 4 pessoas num grupo de 8? A ordem não interessa.
n = 8k = 4
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 6 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,4, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?
n = 6p = 0,4k = 2
P =
13.Distribuição normalMédia
As massas de passageiros com bagagem são independentes e normais com média 85 kg e desvio padrão 12 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 5 deles exceder 465,2 kg. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 465,2 kg
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 60% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 11 itens tem média 54,5 e desvio-padrão s = 17,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 11x̄ = 54,5s = 17,590%t(10) = 1,812
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 33. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 33E = 295%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 101 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101s = 10n = 49
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 3? O desvio-padrão é 5. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 5E = 395%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 69?
n = 5ŷ = 69
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 666667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,004/100 = 0,8
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8)/ln(1,004) = 55,9
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
55 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 56
Resposta
N = 56 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −100000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 32 000/(0,09 − 0,01) = 400 000,00
NPV
NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00
Resposta
NPV = −€100 000,00
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 8,797 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 2 222,22
NPV(10%) = −661,16
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 130 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Resolva numericamente
P(1%) = €1 201,85, P(2%) = €1 129,44
YTM = 1,992%
Resposta
YTM = 1,992%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,26 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·3,5%·(1 − 0,28) = 7,26%
Resposta
WACC = 7,26%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 11,01 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,5
Tabela da normal padrão
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Resposta
P = 0,06681
11.Probabilidades
Resposta: N = 70
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70
Resposta
N = 70
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,311
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 15·0,42·0,64 = 15·0,16·0,1296 = 0,311
Resposta
P = 0,311
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,06681
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg
Padronizar
z = (465,2 − 425)/26,83 = 1,5
Probabilidades
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Resposta
P = 0,06681
14.Distribuição normal
Resposta: x = 251,3 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,6
z da tabela
z ≈ 0,25
De volta às unidades originais
x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g
Resposta
x = 251,3 g
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 44,94
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margem de erro
E = 1,812·17,5/√11 = 9,561
Intervalo
54,5 ± 9,561 → [44,94, 64,06]
Resposta
limite inferior = 44,94
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1046
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·33/2)² = 1046
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 1046
Resposta
n = 1046
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 0,7
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Estatística de teste
t = (101 − 100)/1,429 = 0,7
Resposta
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 11
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,96·5/3)² = 10,67
Arredondar para cima
n = 11
Resposta
n = 11
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9891
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 2017 − 36·295/6 = 247
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 15395 − 295²/6 = 890,8
Coeficiente de correlação
r = 247/√(70·890,8) = 0,9891
Resposta
r = 0,9891
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 6,926
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 323/5 = 64,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Reta de regressão
b = 190/40 = 4,75
a = 64,6 − 4,75·6 = 36,1
ŷ = 36,1 + 4,75·x
Resolver para x
x = (69 − 36,1)/4,75 = 6,926
Resposta
x = 6,926
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