Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €2 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1% ao ano para sempre. O retorno exigido é 4% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €2 000g = 1%r = 4%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €200 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2003,6% / 12N = 192
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €21 000, €10 000, €15 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €7 500, €14 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 14 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 6%YTM = 3,5%n = 3
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 3 anos e é vendido por €1 030. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €16,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 8,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 32, 60, 60, 42, 22, 53.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está abaixo de 178?
μ = 170σ = 8x = 178
P =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 7 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 7
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 6 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,25, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 4?
n = 6p = 0,25k = 4
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,5821. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,5821
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 30% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 99% para uma média, baseado em 50 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 5,3. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 90% com os mesmos dados?
99%n₁ = 50E₁ = 5,390%
E₂ =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 12 parcelas, produção média 93,5 kg, desvio-padrão 8,5 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, média 88 kg, desvio-padrão 9 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 250; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 9. Uma amostra aleatória de 36 observações tem média 246,4. Teste H₀: μ = 250 contra H₁: μ < 250. Encontre o valor p p.
μ₀ = 250σ = 9n = 36x̄ = 246,4H₁: μ < μ₀
p =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 30 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 34 de 100 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 34n₂ = 100
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 66667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 21 000/1,12 = 18 750,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 15 000/1,405 = 10 676,70
Somar
NPV = €−7 601,36
Resposta
NPV = €−7 601,36
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 5,937 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 294,78
NPV(10%) = −1 198,35
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, i = 0,0175, N = 6
Valor presente dos cupons
€30,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €169,47
Valor presente do valor de face
€1 000·0,9011 = €901,14
Preço
P = €1 070,61
Resposta
P = €1 070,61
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 1,961 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 030 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(1%) = €1 058,82, P(2%) = €1 028,84
YTM = 1,961%
Resposta
YTM = 1,961%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,844 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·11% + 0,375·7%·(1 − 0,25) = 8,844%
Resposta
WACC = 8,844%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,97 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,7209
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Resposta
P = 0,7209
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,03296
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,5821)/2 = 0,7910
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,7910 dentro da tabela e leia z.
z = 0,81
Resposta
z = 0,81
14.Distribuição normal
Resposta: x = 181,6 cm
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,7
z da tabela
z ≈ 0,52
De volta às unidades originais
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Resposta
x = 181,6 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 3,385
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/50) = 0,6386
Nova margem
E₂ = 5,3·0,6386 = 3,385
Resposta
E₂ = 3,385
16.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 13,56 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (11·8,5² + 4·9²)/15 = 74,58
sp = 8,636
Margem de erro
E = 1,753·8,636·√(1/12 + 1/5) = 8,058
Intervalo
5,5 ± 8,058 → [−2,558, 13,56]
Resposta
limite superior = 13,56 kg
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,008198
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 9/√36 = 1,5
z = (246,4 − 250)/1,5 = −2,4
Área da cauda
Φ(2,4) = 0,9918
1 − Φ(2,4) = 0,0082
Valor p
p = 0,008198
Resposta
p = 0,008198
p ≤ 0,05, então H₀ é rejeitada ao nível de 5%.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,463
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 34/100 = 0,34
p̂ = 64/220 = 0,2909
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,2909·0,7091·(1/120 + 1/100)) = 0,0615
Estatística de teste
z = (0,25 − 0,34)/0,0615 = −1,463
Resposta
z = −1,463
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9869
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 80/5 = 16
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Syy = Σ(y − ȳ)² = 274
Coeficiente de determinação
r² = 104²/(40·274) = 0,9869
Resposta
r² = 0,9869
Cerca de 98,69% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 42,5
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 223/5 = 44,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Reta de regressão
b = 42/10 = 4,2
a = 44,6 − 4,2·3 = 32
ŷ = 32 + 4,2·x
Previsão
ŷ = 32 + 4,2·2,5 = 42,5
Resposta
ŷ = 42,5
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