Precisa de €25 000 daqui a 7 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €25 0002% / 4n = 7
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €10 000 daqui a 17 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €10 0004,8% / 12N = 204
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €11 000, €13 000, €7 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e devolve €24 000, €29 500, €37 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 24 000CF2 = 29 500CF3 = 37 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 2%YTM = 5%n = 3
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 6 anos e é vendido por €890. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 6P = €890
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,25. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
D/E = 0,25re = 9%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €20,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €40 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,50 por ação, e os dividendos crescem 3% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €48 000 000 e custo antes dos impostos de 4,5%. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 29, 51, 30, 24, 20, 39, 47.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 25. Que proporção P dos valores está abaixo de 525?
μ = 500σ = 25x = 525
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 15? A ordem não interessa.
n = 15k = 2
N =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 5X + 1. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,2Y = 5X + 1
σY =
13.Distribuição normalMédia
As massas de passageiros com bagagem são independentes e normais com média 85 kg e desvio padrão 12 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 12 deles ficar abaixo de 1041 kg. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1041 kg
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,03 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 16 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 2,9 e desvio-padrão 1,4. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 16d̄ = 2,9sd = 1,499%t(15) = 2,947
E = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
Um estudo piloto sugere que cerca de 0,15 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,04?
p ≈ 0,15E = 0,0499%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 60 peças tem comprimento médio de 48 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 16 mm. Linha 2: uma amostra de 30 peças tem média de 52,4 mm, desvio-padrão conhecido de 7 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 2,5? O desvio-padrão é 12. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 12E = 2,599%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (6, 60). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(6, 60)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 21742 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·7 = 28
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,15 = €21 741,54
Resposta
PV = €21 741,54
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 31,8 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 11 000/1,15 = 9 565,22
CF2/(1 + 0,15)2 = 13 000/1,322 = 9 829,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 7 000/1,521 = 4 602,61
Somar
NPV = €−6 002,30
Resposta
NPV = €−6 002,30
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 33,61 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 2 758,31
NPV(35%) = −997,31
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €10,00, i = 0,025, N = 6
Valor presente dos cupons
€10,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €55,08
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8623 = €862,30
Preço
P = €917,38
Resposta
P = €917,38
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 9,488 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,488%
Resposta
YTM = 9,488%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,942 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·5%·(1 − 0,258) = 7,942%
Resposta
WACC = 7,942%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 11,27 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
11.Probabilidades
Resposta: N = 105
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105
Resposta
N = 105
12.Probabilidades
Resposta: σY = 5,123
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,5, Var(X) = 1,05, σX = 1,025
Mudança linear
σY = |5|·1,025 = 5,123
Resposta
σY = 5,123
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·2,5 + 1 = 13,5.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,6915
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Padronizar
z = (1041 − 1020)/41,57 = 0,5
Probabilidades
P = Φ(0,5) = 0,6915
Resposta
P = 0,6915
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9099
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Padronizar
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Resposta
P = 0,9099
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 1,031 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 15, t = 2,947
Margem de erro
E = 2,947·1,4/√16 = 1,031
Resposta
E = 1,031 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 529
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 2,576²·0,15·0,85/0,04² = 528,8
Arredondar para cima
n = 529
Resposta
n = 529
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,811
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(16²/60 + 7²/30) = √5,9 = 2,429
Estatística de teste
z = (48 − 52,4)/2,429 = −1,811
Resposta
z = −1,811
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 153
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (2,576·12/2,5)² = 152,9
Arredondar para cima
n = 153
Resposta
n = 153
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9664
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 116/6 = 19,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 109,3
Coeficiente de determinação
r² = −43²/(17,5·109,3) = 0,9664
Resposta
r² = 0,9664
Cerca de 96,64% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 5,15
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 290/5 = 58
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Reta de regressão
b = 126/40 = 3,15
a = 58 − 3,15·7 = 35,95
ŷ = 35,95 + 3,15·x
Valor previsto
ŷ = 35,95 + 3,15·6 = 54,85
Resíduo
e = 60 − 54,85 = 5,15
Resposta
e = 5,15
O ponto está acima da reta.
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