Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €6 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €6 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €25 000 a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €325 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €25 000A = €3254,8% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €9 000, €8 000, €4 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €20 000 e retorna €11 500, €7 500, €4 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €30 000 e retorna €7 500, €12 000, €16 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 vence em 10 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €923 quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 10P = €923YTM = 5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. Ele é vendido a €698. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2% (2×)n = 8P = €698
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €47,00 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 7%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 31, 60, 23, 55, 24.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 50. Que proporção P dos valores está abaixo de 562,5?
μ = 500σ = 50x = 562,5
P =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 6
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 12 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?
n = 12p = 0,1k = 2
P =
13.Distribuição normalMédia
As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 488 e 522 h? Dê P em forma decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 522
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,03 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 itens tem média 44,5 e desvio-padrão s = 5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 25x̄ = 44,5s = 595%t(24) = 2,064
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 12. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?
σ = 12E = 495%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 250; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 10. Uma amostra aleatória de 25 observações tem média 247,4. Teste H₀: μ = 250 contra H₁: μ < 250. Encontre o valor p p.
μ₀ = 250σ = 10n = 25x̄ = 247,4H₁: μ < μ₀
p =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 500 contra H₁: μ > 500 é feito com α = 0,10 e uma amostra de 36; o desvio-padrão é conhecido e vale 15. Na realidade a média é 505,25. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.
μ₀ = 500μ = 505,25σ = 15n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 5Σx = 30Σy = 92Σx² = 220Σy² = 1966Σxy = 654
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 150000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,004/325 = 0,6923
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,6923)/ln(1,004) = 92,11
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
92 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 93
Resposta
N = 93 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −717 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 9 000/1,05 = 8 571,43
CF2/(1 + 0,05)2 = 8 000/1,103 = 7 256,24
CF3/(1 + 0,05)3 = 4 000/1,158 = 3 455,35
Somar
NPV = €−716,99
Resposta
NPV = €−716,99
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 6,961 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 7 500 − 11 500 = −4 000
ΔCF2 = 12 000 − 7 500 = 4 500
ΔCF3 = 16 500 − 4 500 = 12 000
TIR da diferença
NPVΔ(6%) = 306,83
NPVΔ(7%) = −12,27
r* = 6,961%
Resposta
r* = 6,961%
Verificação: a 6,961% os dois VPLs valem €984,56.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 4,003 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,05)−10 = €613,91
Cupom
C = (923 − 613,91)/7,722 = €40,03
Taxa de cupom
c = 40,03/1000 = 4,003%
Resposta
c = 4,003%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,993 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €10,00, N = 16
Resolva numericamente
i = 3,496% por semestre
YTM
YTM = 2·3,496% = 6,993%
Resposta
YTM = 6,993%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·12% + 0,6·6%·(1 − 0,25) = 7,5%
Resposta
WACC = 7,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,662 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,25
Tabela da normal padrão
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Resposta
P = 0,8944
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,6651
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Resposta
P = 0,6651
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,2301
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3
z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55
Área entre os valores
P = Φ(0,55) − Φ(−0,3) = 0,7088 − 0,3821 = 0,3268
Resposta
P = 0,3268
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9515
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Padronizar
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Resposta
P = 0,9515
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 2,064
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margem de erro
E = 2,064·5/√25 = 2,064
Resposta
E = 2,064
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 35
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·12/4)² = 34,57
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 35
Resposta
n = 35
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,0968
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (247,4 − 250)/2 = −1,3
Área da cauda
Φ(1,3) = 0,9032
1 − Φ(1,3) = 0,0968
Valor p
p = 0,0968
Resposta
p = 0,0968
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: 1 − β = 79,33 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 500 + 1,282·2,5 = 503,2
z sob a média verdadeira
z = (503,2 − 505,25)/2,5 = −0,818
Potência
poder = P(Z > −0,818) = 79,33%
1 − β = 79,33%
Resposta
1 − β = 79,33%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9757
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 654 − 30·92/5 = 102
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1966 − 92²/5 = 273,2
Coeficiente de correlação
r = 102/√(40·273,2) = 0,9757
Resposta
r = 0,9757
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 24,17
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 145/6 = 24,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217
Reta de regressão
b = 217/70 = 3,1
a = 24,17 − 3,1·7 = 2,467
ŷ = 2,467 + 3,1·x
Previsão
ŷ = 2,467 + 3,1·7 = 24,17
Resposta
ŷ = 24,17
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