Uma anuidade paga €2 000 no final de cada ano durante 19 anos. A taxa de juros é 5% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €2 000i = 5%n = 19
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €15 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €28 000, €16 000, €27 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €200 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €45 000 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 4. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €200 000CF1 = €45 000g = 2%n = 4r = 10%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 8 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) quando seu rendimento até o vencimento é 6%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 8y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 5 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €12 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. O custo do capital próprio é 10%, o custo das ações preferenciais 7,5% e o custo da dívida antes dos impostos 3%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 5%, 9 anos até o vencimento) negociados a €1 114 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 46, 31, 38, 28, 35.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 5. Calcule a pontuação z z de uma nota de 73.
μ = 70σ = 5x = 73
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €5 para jogar. Você ganha €10 com probabilidade 0,3 e €50 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €5€10: p = 0,3€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,6985. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,6985
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 85% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 60 celulares, média 105,5 h, desvio-padrão conhecido 8 h. Modelo 2: 100 celulares, média 104 h, desvio-padrão conhecido 12 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 28. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?
σ = 28E = 0,595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 195,5 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 195,5s = 15n = 36
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 500 contra H₁: μ < 500 é feito com α = 0.01 e uma amostra de 100; o desvio-padrão é conhecido e vale 10. Na realidade a média é 496.1. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.
μ₀ = 500μ = 496,1σ = 10n = 100α = 0,01
1 − β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 5Σx = 30Σy = 52Σx² = 220Σy² = 592Σxy = 356
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (5, 9). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(5, 9)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 24171 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3957)/0,05 = 12,09
Valor atual
PV = 2 000·12,09 = €24 170,64
Resposta
PV = €24 170,64
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 348,2 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 15 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €348,16
Resposta
A = €348,16
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 3,907 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 28 000/1,09 = 25 688,07
CF2/(1 + 0,09)2 = 16 000/1,188 = 13 466,88
CF3/(1 + 0,09)3 = 27 000/1,295 = 20 848,95
Somar
NPV = €3,91
Resposta
NPV = €3,91
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −53365 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 11,64 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(6%) = €1 042,12, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,049%
Resposta
YTM = 6,049%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,729 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (73 − 70)/5 = 0,6
Resposta
z = 0,6
11.Probabilidades
Resposta: σ = 10,62
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 5 (p = 0,3), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)
Valor esperado
E(G) = 5·0,3 + 45·0,05 − 5·0,65 = 0,5 €
Resposta
E(G) = 0,5 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = −0,52
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,3015 dentro da tabela e leia z.
z = −0,52
Resposta
z = −0,52
14.Distribuição normal
Resposta: x = 542 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,85
z da tabela
z ≈ 1,04
De volta às unidades originais
x = 500 + 1,04·40 = 542 h
Resposta
x = 542 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 4,104 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 105,5 − 104 = 1,5
Erro-padrão
SE = √(8²/60 + 12²/100) = 1,583
Margem de erro
E = 1,645·1,583 = 2,604
Intervalo
1,5 ± 2,604 → [−1,104, 4,104]
Resposta
limite superior = 4,104 h
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 12048
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·28/0,5)² = 12047
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 12048
Resposta
n = 12048
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,8
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Estatística de teste
t = (195,5 − 200)/2,5 = −1,8
Resposta
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: 1 − β = 94,23 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 500 − 2,326·1 = 497,7
z sob a média verdadeira
z = (497,7 − 496,1)/1 = 1,574
Potência
poder = P(Z < 1.574) = 94.23%
1 − β = 94,23%
Resposta
1 − β = 94,23%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9723
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 356 − 30·52/5 = 44
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 592 − 52²/5 = 51,2
Coeficiente de correlação
r = 44/√(40·51,2) = 0,9723
Resposta
r = 0,9723
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,629
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 108/6 = 18
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Reta de regressão
b = 188/70 = 2,686
a = 18 − 2,686·7 = −0,8
ŷ = −0,8 + 2,686·x
Valor previsto
ŷ = −0,8 + 2,686·5 = 12,63
Resíduo
e = 9 − 12,63 = −3,629
Resposta
e = −3,629
O ponto está abaixo da reta.
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