Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 16% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0004,8% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €14 000, €14 000, €30 000, €15 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €12 000, €12 000, €13 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 12 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €946 quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 3P = €946YTM = 5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 7 anos e é vendido por €1 115. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 7P = €1 115
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 0,9 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,5. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco 1% e o prêmio de risco de mercado 5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
As massas de parafusos são independentes e normais com média 40 g e desvio padrão 1,2 g. Encontre a probabilidade P de a massa total de 9 deles exceder 356,4 g. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 356,4 g
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 12 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média −2,5 e desvio-padrão 2,8. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.
n = 12d̄ = −2,5sd = 2,890%t(11) = 1,796
limite inferior = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 39. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 39E = 290%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 194,2 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 194,2s = 20n = 81
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1,5? O desvio-padrão é 4. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 4E = 1,590%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3,5, 47). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 47)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 17,35 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Resposta
EAR = 17,35%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1432 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3019
A = 250 000·0,004/(1 − 0,3019) = €1 432,49
Resposta
A = €1 432,49
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −8938 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 14 000/1,15 = 12 173,91
CF2/(1 + 0,15)2 = 14 000/1,322 = 10 586,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 30 000/1,521 = 19 725,49
CF4/(1 + 0,15)4 = 15 000/1,749 = 8 576,30
Somar
NPV = €−8 938,29
Resposta
NPV = €−8 938,29
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 22,15 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 856,48
NPV(25%) = −1 064,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,05)−3 = €863,84
Cupom
C = (946 − 863,84)/2,723 = €30,17
Taxa de cupom
c = 30,17/1000 = 3,017%
Resposta
c = 3,017%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,012 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 115 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Resolva numericamente
P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82
YTM = 5,012%
Resposta
YTM = 5,012%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,013 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·7%·(1 − 0,28) = 9,013%
Resposta
WACC = 9,013%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 5,733 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 0,9/(1 + 0,7·0,5) = 0,6667
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,6667·(1 + 0,7·0,6) = 0,9467
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1% + 0,9467·5% = 5,733%
Resposta
re = 5,733%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 12,01
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,5
Tabela da normal padrão
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Resposta
P = 0,3085
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,05
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,5
Média dos quadrados
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,2 = 7,3
Variância
Var(X) = 7,3 − 2,5² = 1,05
Resposta
Var(X) = 1,05
12.Probabilidades
Resposta: σY = 0,6344
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,7, Var(X) = 1,61, σX = 1,269
Mudança linear
σY = |0,5|·1,269 = 0,6344
Resposta
σY = 0,6344
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·1,7 − 3 = −2,15.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8413
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g
Padronizar
z = (356,4 − 360)/3,6 = −1
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9875
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Padronizar
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Resposta
P = 0,9875
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = −3,952 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 11, t = 1,796
Margem de erro
E = 1,796·2,8/√12 = 1,452
Intervalo
−2,5 ± 1,452 → [−3,952, −1,048]
Resposta
limite inferior = −3,952 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1029
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·39/2)² = 1029
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 1029
Resposta
n = 1029
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −2,61
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Estatística de teste
t = (194,2 − 200)/2,222 = −2,61
Resposta
t = −2,61
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 20
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,645·4/1,5)² = 19,24
Arredondar para cima
n = 20
Resposta
n = 20
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9908
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 282/6 = 47
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Syy = Σ(y − ȳ)² = 654
Coeficiente de correlação
r = 212/√(70·654) = 0,9908
Resposta
r = 0,9908
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −1,75
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 235/5 = 47
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35
Reta de regressão
b = 35/10 = 3,5
a = 47 − 3,5·3 = 36,5
ŷ = 36,5 + 3,5·x
Valor previsto
ŷ = 36,5 + 3,5·3,5 = 48,75
Resíduo
e = 47 − 48,75 = −1,75
Resposta
e = −1,75
O ponto está abaixo da reta.
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