Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €5 000 a 5% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 16 anos.

PV = €5 000r = 5%t = 16

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 4 anos a 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €10 0003% / 12N = 48

I = €

3.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €30 000 hoje. Ela gera €6 000 no final de cada ano durante 6 anos e depois pode ser vendida por €7 500. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €30 000CF = €6 000S = €7 500n = 6r = 8%

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um investimento de €50 000 retorna €8 500 no final de cada ano durante 8 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.

C₀ = €50 000CF = €8 500n = 8

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 3,5%n = 4

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) é vendido a €1 162. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 060. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 6%P = €1 162preço de resgate = €1 060resgate em 6 anos

YTC = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 5 000 000 ações a €24,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 9%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 3,5%r_m = 9%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 51, 17, 54, 21, 51, 12.

n = 6

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 90?

μ = 100σ = 5x = 90

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

12.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 5 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?

n = 5p = 0,1k = 1

P =

13.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8664. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,8664

z =

14.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 10% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

15.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 40 celulares, média 70,5 h, desvio-padrão conhecido 18 h. Modelo 2: 80 celulares, média 60 h, desvio-padrão conhecido 5 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 70,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 80x̄₂ = 60 hσ₂ = 5 h90%

E = h

16.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 9 parcelas, produção média 90,5 kg, desvio-padrão 1 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, média 83 kg, desvio-padrão 3 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 90,5s₁ = 1n₂ = 5x̄₂ = 83s₂ = 390%t(12) = 1,782

limite inferior = kg

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 207,9 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 207,9s = 15n = 16

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 25 medições tem média 79,8. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 79,8σ = 12n = 2599%

U =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 30Σy = 115Σx² = 220Σy² = 3127Σxy = 828

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 64?

n = 6ŷ = 64

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 11128 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,05·16 = 0,8

e^0,8 = 2,226

Valor futuro

FV = 5 000·2,226 = €11 127,70

Resposta

FV = €11 127,70

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 624,5 €

Prestação mensal

i = 0,0025, N = 48

A = 10 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁴⁸) = €221,34

Juros totais

I = N·A − P = 48·221,3 − 10 000 = €624,48

Resposta

I = €624,48

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 2464 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente dos fluxos de caixa anuais

6 000·4,623 = 27 737,28

Valor presente do valor residual

7 500/1,587 = 4 726,27

NPV

NPV = −30 000 + 27 737,28 + 4 726,27 = €2 463,55

Resposta

NPV = €2 463,55

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 7,389 %

Fator de anuidade necessário

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 50 000/8 500 = 5,882

Resolver para a taxa

O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.

i = 7%: 5,971

i = 8%: 5,747

IRR = 7,389%

Resposta

IRR = 7,389%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1093 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,0175, N = 8

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €222,15

Valor presente do valor de face

€1 000·0,8704 = €870,41

Preço

P = €1 092,56

Resposta

P = €1 092,56

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 3,835 %

Equação do rendimento

1162 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1060/(1 + y)⁶

Resolva numericamente

y = 3%: €1 212,76

y = 4%: €1 152,26

YTC = 3,835%

Resposta

YTC = 3,835%

O rendimento até o vencimento é 4,002%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 5,871 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·8% + 0,6·6%·(1 − 0,258) = 5,871%

Resposta

WACC = 5,871%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,197 %

Valores de mercado

E = 5 000 000·€24,50 = €122 500 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,2·5,5% = 10,1%

Pesos

V = €162 500 000, E/V = 0,7538, D/V = 0,2462

WACC

WACC = 0,7538·10,1% + 0,2462·3%·(1 − 0,21) = 8,197%

Resposta

WACC = 8,197%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 19,59

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 206/6 = 34,33

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 16,67² + (−17,33)² + 19,67² + (−13,33)² + 16,67² + (−22,33)² = 1919

Desvio-padrão

s = √(1919/5) = 19,59

Resposta

s = 19,59

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9772

Padronizar

z = −2

Tabela da normal padrão

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Resposta

P = 0,9772

11.Probabilidades

Resposta: σ = 0,8367

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variância

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Resposta

σ = 0,8367

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,3281

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 1) = 5·0,1¹·0,9⁴ = 5·0,1·0,6561 = 0,3281

Resposta

P = 0,3281

13.Distribuição normal

Resposta: z = 1,5

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,8664)/2 = 0,9332

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9332 dentro da tabela e leia z.

z = 1,50

Resposta

z = 1,50

14.Distribuição normal

Resposta: x = 449 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,1

z da tabela

z ≈ −1,28

De volta às unidades originais

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Resposta

x = 449 h

15.Intervalos de confiança

Resposta: E = 4,771 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 70,5 − 60 = 10,5

Erro-padrão

SE = √(18²/40 + 5²/80) = 2,9

Margem de erro

E = 1,645·2,9 = 4,771

Resposta

E = 4,771 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

16.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 5,597 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (8·1² + 4·3²)/12 = 3,667

s_p = 1,915

Margem de erro

E = 1,782·1,915·√(1/9 + 1/5) = 1,903

Intervalo

7,5 ± 1,903 → [5,597, 9,403]

Resposta

limite inferior = 5,597 kg

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,107

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Estatística de teste

t = (207,9 − 200)/3,75 = 2,107

Resposta

t = 2,107

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 85,98

Margem de erro

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Limite do intervalo

U = 79,8 + 6,182 = 85,98

Resposta

U = 85,98

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9939

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 828 − 30·115/5 = 138

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3127 − 115²/5 = 482

Coeficiente de correlação

r = 138/√(40·482) = 0,9939

Resposta

r = 0,9939

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 4,088

Médias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 495/6 = 82,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 331

Reta de regressão

b = 331/70 = 4,729

a = 82,5 − 4,729·8 = 44,67

ŷ = 44,67 + 4,729·x

Resolver para x

x = (64 − 44,67)/4,729 = 4,088

Resposta

x = 4,088

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