Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €5 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.

PV = €5 0003% / 4n = 3

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 7 anos a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €20 0004,8% / 12N = 84

I = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €19 000, €18 000, €27 000, €17 000. O custo do capital é de 8 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 18 000CF₃ = 27 000CF₄ = 17 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €10 000 e devolve €6 000, €6 500, €5 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 500CF₃ = 5 000

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 5,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 5,5%n = 9

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 18 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) é vendido a €1 359. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 050. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%P = €1 359preço de resgate = €1 050resgate em 4 anos

YTC = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €10 000 000 e dívida no valor de €3 000 000. Seu WACC é 11,52%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 11,52%r_d = 4,5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 14%. Sua dívida consiste em 4 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 8 anos até o vencimento) negociados a €943 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €12 000 000r_e = 14%títulos: 4 000 × €943cupom = 7%n = 8T = 25,8%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 41, 27, 17, 25, 44, 60.

n = 6

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 160,4?

μ = 170σ = 12x = 160,4

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,3, 0,1, 0,3

σ =

12.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 7 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,25, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 7p = 0,25

P =

13.Distribuição normalMédia

As massas de parafusos são independentes e normais com média 40 g e desvio padrão 1,2 g. Encontre a probabilidade P de a massa total de 4 deles ficar abaixo de 164,8 g. Arredonde z para duas casas decimais.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4< 164.8 g

P =

14.Distribuição normalDifícil

O tempo de volta X do corredor A e o tempo de volta Y do corredor B são independentes e normais: X tem média 52 s e desvio padrão 4 s, Y tem média 48 s e desvio padrão 3 s. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 11 itens tem média 85 e desvio-padrão s = 17,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 11x̄ = 85s = 17,595%t(10) = 2,228

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 13. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?

σ = 13E = 0,590%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 80; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 4. Uma amostra aleatória de 64 observações tem média 80,8. Teste H₀: μ = 80 contra H₁: μ > 80. Encontre o valor p p.

μ₀ = 80σ = 4n = 64x̄ = 80,8H₁: μ > μ₀

p =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 500 contra H₁: μ < 500 é feito com α = 0.10 e uma amostra de 100; o desvio-padrão é conhecido e vale 15. Na realidade a média é 495.5. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 500μ = 495,5σ = 15n = 100α = 0,10

1 − β = %

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 24,5.

n = 5x = 24,5

ŷ =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 5469 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·3 = 12

Valor futuro

FV = 5 000·(1 + 0,0075)¹² = 5 000·1,094 = €5 469,03

Resposta

FV = €5 469,03

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 3587 €

Prestação mensal

i = 0,004, N = 84

A = 20 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁸⁴) = €280,80

Juros totais

I = N·A − P = 84·280,8 − 20 000 = €3 587,41

Resposta

I = €3 587,41

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 6954 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 19 000/1,08 = 17 592,59

CF₂/(1 + 0,08)² = 18 000/1,166 = 15 432,10

CF₃/(1 + 0,08)³ = 27 000/1,26 = 21 433,47

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 17 000/1,36 = 12 495,51

Somar

NPV = €6 953,67

Resposta

NPV = €6 953,67

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 35,33 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(35%) = 43,18

NPV(40%) = −575,80

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 35 + 5·43,18/(43,18 − (−575,80)) = 35,35%

exato: NPV(35,33%) = 0 → IRR = 35,33%

Resposta

IRR = 35,33%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 929,8 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €22,50, i = 0,0275, N = 18

Valor presente dos cupons

€22,50·(1 − 0,6137)/0,0275 = €316,10

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6137 = €613,66

Preço

P = €929,76

Resposta

P = €929,76

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 50 %

Equação do rendimento

1359 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1050/(1 + y)⁴

Resolva numericamente

y = 50%: €287,65

YTC = 50%

Resposta

YTC = 50%

O rendimento até o vencimento é 2,499%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

7.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 14 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

Parte da dívida no WACC

0,2308·4,5%·(1 − 0,28) = 0,7477%

Custo do capital próprio

r_e = (11,52% − 0,7477%)/0,7692 = 14%

Resposta

r_e = 14%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 12,07 %

Custo da dívida (YTM)

943 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 7,992%

Valores de mercado

D = 4 000·€943 = €3 772 000

V = €15 772 000, E/V = 0,7608, D/V = 0,2392

WACC

WACC = 0,7608·14% + 0,2392·7,992%·(1 − 0,258) = 12,07%

Resposta

WACC = 12,07%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,67

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 214/6 = 35,67

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 5,333² + (−8,667)² + (−18,67)² + (−10,67)² + 8,333² + 24,33² = 1227

Desvio-padrão

s = √(1227/5) = 15,67

Resposta

s = 15,67

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7881

Padronizar

z = −0,8

Tabela da normal padrão

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

11.Probabilidades

Resposta: σ = 1,526

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,1 + 5·0,3 = 3,15

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,1 + 25·0,3 = 12,25

Variância

Var(X) = 12,25 − 3,15² = 2,328

σ = √2,328 = 1,526

Resposta

σ = 1,526

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,4449

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,75⁷ = 0,1335

P(X = 1) = 7·0,25·0,75⁶ = 0,3115

Some

P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449

Resposta

P = 0,4449

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9772

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição do total

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

Padronizar

z = (164,8 − 160)/2,4 = 2

Probabilidades

P = Φ(2) = 0,9772

Resposta

P = 0,9772

14.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7881

Distribuição da diferença

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Padronizar

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Probabilidades

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 73,24

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margem de erro

E = 2,228·17,5/√11 = 11,76

Intervalo

85 ± 11,76 → [73,24, 96,76]

Resposta

limite inferior = 73,24

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 1830

Resolver em ordem a n

n = (1,645·13/0,5)² = 1829

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 1830

Resposta

n = 1830

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,0548

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5

z = (80,8 − 80)/0,5 = 1,6

Área da cauda

Φ(1,6) = 0,9452

1 − Φ(1,6) = 0,0548

Valor p

p = 0,0548

Resposta

p = 0,0548

p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 95,71 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 500 − 1,282·1,5 = 498,1

z sob a média verdadeira

z = (498,1 − 495,5)/1,5 = 1,718

Potência

poder = P(Z < 1.718) = 95.71%

1 − β = 95,71%

Resposta

1 − β = 95,71%

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9167

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 420/5 = 84

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1190

Coeficiente de correlação

r = 200/√(40·1190) = 0,9167

Resposta

r = 0,9167

20.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 121,8

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 497/5 = 99,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447

Reta de regressão

b = 447/90 = 4,967

a = 99,4 − 4,967·20 = 0,06667

ŷ = 0,06667 + 4,967·x

Previsão

ŷ = 0,06667 + 4,967·24,5 = 121,8

Resposta

ŷ = 121,8

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