Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €5 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €5 000g = 2,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €3 000 no início de cada ano durante 7 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 4% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 7? Encontre FV.
A = €3 000i = 4%n = 7
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €8 000, €6 000, €8 000, €8 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €13 000, €8 500, €11 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 8 500CF3 = 11 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 085 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 4,4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 75 pontos-base.
P0 = €1 085y = 6%D = 4,4Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €4 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €6 000 000. O custo do capital próprio é 13%, o custo das ações preferenciais 7,5% e o custo da dívida antes dos impostos 3%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 0,9 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,4. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco 1% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 39, 37, 26, 40, 12, 46, 49.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 95?
μ = 100σ = 5x = 95
P =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 2 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 2
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 10 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 10p = 0,2
P =
13.Distribuição normalMédia
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 178,35 e 192 cm? Dê P em forma decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 178,35x2 = 192
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos20%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 6 itens tem média 86 e desvio-padrão s = 13,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 6x̄ = 86s = 13,595%t(5) = 2,571
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 39. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 39E = 295%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 498,4 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,4s = 4n = 64
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 20. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 20E = 199%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (2, 43). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(2, 43)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 166667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,04)7 − 1)/0,04 = 7,898
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 3 000·7,898·1,04 = €24 642,68
Resposta
FV = €24 642,68
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 1328 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 8 000/1,15 = 6 956,52
CF2/(1 + 0,15)2 = 6 000/1,322 = 4 536,86
CF3/(1 + 0,15)3 = 8 000/1,521 = 5 260,13
CF4/(1 + 0,15)4 = 8 000/1,749 = 4 574,03
Somar
NPV = €1 327,54
Resposta
NPV = €1 327,54
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 30,97 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 264,00
NPV(35%) = −1 032,36
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,035, N = 22
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €303,34
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4692 = €469,15
Preço
P = €772,49
Resposta
P = €772,49
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1119 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 4,4/1,06 = 4,151
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −4,151·(−0,0075) = 3,113%
P ≈ 1085·(1 + 0,03113) = €1 118,78
Resposta
P = €1 118,78
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,708 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 0,9/(1 + 0,8·0,4) = 0,6818
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,6818·(1 + 0,8·0,6) = 1,009
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1% + 1,009·6,5% = 7,559%
Resposta
re = 7,559%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 12,71
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1
Tabela da normal padrão
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,3056
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Resposta
P = 0,3056
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,3758
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684
Some
P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758
Resposta
P = 0,3758
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,4573
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05
z₂ = (192 − 178)/7 = 2
Área entre os valores
P = Φ(2) − Φ(0,05) = 0,9772 − 0,5199 = 0,4573
Resposta
P = 0,4573
14.Distribuição normal
Resposta: x = 112,6 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,8
z da tabela
z ≈ 0,84
De volta às unidades originais
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 pontos
Resposta
x = 112,6 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 71,83
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Margem de erro
E = 2,571·13,5/√6 = 14,17
Intervalo
86 ± 14,17 → [71,83, 100,2]
Resposta
limite inferior = 71,83
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1461
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·39/2)² = 1461
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 1461
Resposta
n = 1461
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Estatística de teste
t = (498,4 − 500)/0,5 = −3,2
Resposta
t = −3,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 2655
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (2,576·20/1)² = 2654
Arredondar para cima
n = 2655
Resposta
n = 2655
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,996
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 386/5 = 77,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
Syy = Σ(y − ȳ)² = 834,8
Coeficiente de correlação
r = 182/√(40·834,8) = 0,996
Resposta
r = 0,996
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,1
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.