Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €8 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 3,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €12 0004,2% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €500 000 hoje. Ele gera €39 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €500 000CF1 = €39 000g = 1%r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €100 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €15 000 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 6. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €15 000g = 3%n = 6r = 10%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €974 quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 3P = €974YTM = 7%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. Ele é vendido a €1 164. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6% (2×)n = 6P = €1 164
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €33,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 6%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 13, 15, 44, 14, 34.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 35,6?
μ = 50σ = 12x = 35,6
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 5X − 3. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1Y = 5X − 3
σY =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,3328. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,3328
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 95% para uma média, baseado em 100 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 5,8. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 99% com os mesmos dados?
95%n₁ = 100E₁ = 5,899%
E₂ =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Os diâmetros de 16 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 8,9 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite inferior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 15, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 6,262 e 2,5% fica acima de 27,488.
n = 16s = 8,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 120; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 7,5. Uma amostra aleatória de 25 observações tem média 121,8. Teste H₀: μ = 120 contra H₁: μ > 120. Encontre o valor p p.
μ₀ = 120σ = 7,5n = 25x̄ = 121,8H₁: μ > μ₀
p =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 100 medições tem média 198,1. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 99 % para a média.
x̄ = 198,1σ = 15n = 10099%
L =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 21Σy = 115Σx² = 91Σy² = 2273Σxy = 370
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (1,5, 16). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 16)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 400000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8109
A = 12 000·0,0035/(1 − 0,8109) = €222,08
Resposta
A = €222,08
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 57143 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 39 000/(0,08 − 0,01) = 557 142,86
NPV
NPV = 557 142,86 − 500 000 = €57 142,86
Resposta
NPV = €57 142,86
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −30145 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,03)/(1,1))6 = 0,674
PV = 15 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,674) = 69 854,70
NPV
NPV = 69 854,70 − 100 000 = −€30 145,30
Resposta
NPV = −€30 145,30
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 6,009 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,07)−3 = €816,30
Cupom
C = (974 − 816,30)/2,624 = €60,09
Taxa de cupom
c = 60,09/1000 = 6,009%
Resposta
c = 6,009%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 2,994 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, N = 12
Resolva numericamente
i = 1,497% por semestre
YTM
YTM = 2·1,497% = 2,994%
Resposta
YTM = 2,994%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 4,75 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·10% + 0,75·4%·(1 − 0,25) = 4,75%
Resposta
WACC = 4,75%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,453 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,2
Tabela da normal padrão
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Resposta
P = 0,8849
11.Probabilidades
Resposta: σ = 0,8047
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Variância
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Resposta
σ = 0,8047
12.Probabilidades
Resposta: σY = 4,867
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,05, Var(X) = 0,9475, σX = 0,9734
Mudança linear
σY = |5|·0,9734 = 4,867
Resposta
σY = 4,867
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·1,05 − 3 = 2,25.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 0,43
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,3328)/2 = 0,6664
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,6664 dentro da tabela e leia z.
z = 0,43
Resposta
z = 0,43
14.Distribuição normal
Resposta: x = 534 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,8
z da tabela
z ≈ 0,84
De volta às unidades originais
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Resposta
x = 534 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 7,623
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314
Nova margem
E₂ = 5,8·1,314 = 7,623
Resposta
E₂ = 7,623
16.Intervalos de confiança
Resposta: σ = 6,575 µm
Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.
Soma de quadrados
(n − 1)s² = 15·8,9² = 1188
Limites para σ²
1188/27,488 = 43,22
1188/6,262 = 189,7
Limite para σ
σ = √43,22 = 6,575 µm
Resposta
σ = 6,575 µm
Intervalo de 95% para σ: [6,575, 13,77] µm.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,1151
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5
z = (121,8 − 120)/1,5 = 1,2
Área da cauda
Φ(1,2) = 0,8849
1 − Φ(1,2) = 0,1151
Valor p
p = 0,1151
Resposta
p = 0,1151
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 194,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 2,576·15/√100 = 3,864
Limite do intervalo
L = 198,1 − 3,864 = 194,2
Resposta
L = 194,2
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9364
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 370 − 21·115/6 = −32,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2273 − 115²/6 = 68,83
Coeficiente de correlação
r = −32,5/√(17,5·68,83) = −0,9364
Resposta
r = −0,9364
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −4,1
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Reta de regressão
b = −22/10 = −2,2
a = 16,8 − (−2,2)·3 = 23,4
ŷ = 23,4 − 2,2·x
Valor previsto
ŷ = 23,4 + (−2,2)·1,5 = 20,1
Resíduo
e = 16 − 20,1 = −4,1
Resposta
e = −4,1
O ponto está abaixo da reta.
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