Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €5 000 a uma taxa nominal de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.

PV = €5 0004,8% / 12n = 3

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €25 000 a 4,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €350 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €25 000A = €3504,2% / 12

N = pagamentos

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €6 000, €10 000, €14 000, €6 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 6 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €24 000 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 4. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €24 000g = 3%n = 4r = 8%

NPV = €

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 7%YTM = 9%n = 11

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 7 anos e é vendido por €940. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 4%n = 7P = €940

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,25 tem retorno exigido de 10%. A taxa livre de risco é 2,5%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,25r_e = 10%r_f = 2,5%

r_m = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €47,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.

β = 1,8r_f = 1%r_m = 6%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 13, 16, 59, 56, 23, 52, 58.

n = 7

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 104,8?

μ = 100σ = 12x = 104,8

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3

σ =

12.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €5 para jogar. Você ganha €15 com probabilidade 0,2 e €250 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €5€15: p = 0,2€250: p = 0,05

E(G) = €

13.Distribuição normalMédia

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 480 e 562 h? Dê P em forma decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 562

P =

14.Distribuição normalDifícil

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

15.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 10 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 3,3 e desvio-padrão 1. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.

n = 10d̄ = 3,3s_d = 190%t(9) = 1,833

E = mmHg

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 17. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 17E = 190%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 498,1 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,1s = 12n = 81

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 81 medições tem média 197,2. O desvio-padrão da população é 10. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.

x̄ = 197,2σ = 10n = 8190%

L =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 33Σy = 456Σx² = 199Σy² = 35038Σxy = 2581

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (22,5, 67). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(22,5, 67)

e =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 5773 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·3 = 36

Valor futuro

FV = 5 000·(1 + 0,004)³⁶ = 5 000·1,155 = €5 772,76

Resposta

FV = €5 772,76

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 83 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,0035/350 = 0,75

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,75)/ln(1,004) = 82,34

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

82 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 83

Resposta

N = 83 pagamentos

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = −1017 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 6 000/1,09 = 5 504,59

CF₂/(1 + 0,09)² = 10 000/1,188 = 8 416,80

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 6 000/1,412 = 4 250,55

Somar

NPV = €−1 017,49

Resposta

NPV = €−1 017,49

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: NPV = 2904 €

Valor presente da anuidade crescente

((1,03)/(1,08))⁴ = 0,8273

PV = 24 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,8273) = 82 904,36

NPV

NPV = 82 904,36 − 80 000 = €2 904,36

Resposta

NPV = €2 904,36

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 862,2 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €35,00, i = 0,045, N = 22

Valor presente dos cupons

€35,00·(1 − 0,3797)/0,045 = €482,45

Valor presente do valor de face

€1 000·0,3797 = €379,70

Preço

P = €862,16

Resposta

P = €862,16

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 5,038 %

Equação do rendimento

€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Resolva numericamente

P(5%) = €942,14, P(6%) = €888,35

YTM = 5,038%

Resposta

YTM = 5,038%

7.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 8,5 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (10% − 2,5%)/1,25 = 6%

Retorno do mercado

r_m = 2,5% + 6% = 8,5%

Resposta

r_m = 8,5%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,693 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€47,50 = €47 500 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,8·5% = 10%

Pesos

V = €87 500 000, E/V = 0,5429, D/V = 0,4571

WACC

WACC = 0,5429·10% + 0,4571·3,5%·(1 − 0,21) = 6,693%

Resposta

WACC = 6,693%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 21,13

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 277/7 = 39,57

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−26,57)² + (−23,57)² + 19,43² + 16,43² + (−16,57)² + 12,43² + 18,43² = 2678

Desvio-padrão

s = √(2678/6) = 21,13

Resposta

s = 21,13

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,3446

Padronizar

z = 0,4

Tabela da normal padrão

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Resposta

P = 0,3446

11.Probabilidades

Resposta: σ = 2,4

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,3 + 2·0,1 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,2

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,1 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16

Variância

Var(X) = 16 − 3,2² = 5,76

σ = √5,76 = 2,4

Resposta

σ = 2,4

12.Probabilidades

Resposta: E(G) = 10,5 €

Resultados líquidos

G: 10 (p = 0,2), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)

Valor esperado

E(G) = 10·0,2 + 245·0,05 − 5·0,75 = 10,5 €

Resposta

E(G) = 10,5 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,6309

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55

Área entre os valores

P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309

Resposta

P = 0,6309

14.Distribuição normal

Resposta: x = 533,7 h

z do percentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

De volta a x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Resposta

x = 533,66 h

15.Intervalos de confiança

Resposta: E = 0,5796 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 9, t = 1,833

Margem de erro

E = 1,833·1/√10 = 0,5796

Resposta

E = 0,5796 mmHg

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 783

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,645·17/1)² = 782

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 783

Resposta

n = 783

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,425

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Estatística de teste

t = (498,1 − 500)/1,333 = −1,425

Resposta

t = −1,425

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 195,4

Margem de erro

E = 1,645·10/√81 = 1,828

Limite do intervalo

L = 197,2 − 1,828 = 195,4

Resposta

L = 195,4

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,8928

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 2581 − 33·456/6 = 73

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 35038 − 456²/6 = 382

Coeficiente de correlação

r = 73/√(17,5·382) = 0,8928

Resposta

r = 0,8928

20.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −2,65

Médias

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 314/5 = 62,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 411

Reta de regressão

b = 411/90 = 4,567

a = 62,8 − 4,567·21 = −33,1

ŷ = −33,1 + 4,567·x

Valor previsto

ŷ = −33,1 + 4,567·22,5 = 69,65

Resíduo

e = 67 − 69,65 = −2,65

Resposta

e = −2,65

O ponto está abaixo da reta.

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