Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 21% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 21%m = 2
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €20 000 a 5,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €475 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €20 000A = €4755,4% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €5 000, €7 000, €6 000, €8 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e devolve €25 500, €31 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 25 500CF2 = 31 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 6 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5% para 7%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 4%n = 6y1 = 5%y2 = 7%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 5%n = 5YTM = 8%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
E = €8 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €33,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 8%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 33, 56, 26, 48, 60, 33, 29.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Calcule a pontuação z z de uma nota de 68,75.
μ = 50σ = 15x = 68,75
z =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
4 / 6
P =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 3X + 4. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3Y = 3X + 4
σY =
13.Distribuição normalMédia
As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 454 e 572 h? Dê P em forma decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 572
P =
14.Distribuição normalDifícil
As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 6 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 0,9 e desvio-padrão 1,5. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.
n = 6d̄ = 0,9sd = 1,590%t(5) = 2,015
E = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 19. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?
σ = 19E = 1,590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 124 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 124s = 20n = 36
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 4. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 4E = 0,595%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 22,1 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,21/2 = 0,105
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,105)2 − 1 = 1,221 − 1 = 22,1%
Resposta
EAR = 22,1%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 47 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,0045/475 = 0,8105
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8105)/ln(1,004) = 46,79
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
46 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 47
Resposta
N = 47 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 1788 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 5 000/1,07 = 4 672,90
CF2/(1 + 0,07)2 = 7 000/1,145 = 6 114,07
CF3/(1 + 0,07)3 = 6 000/1,225 = 4 897,79
CF4/(1 + 0,07)4 = 8 000/1,311 = 6 103,16
Somar
NPV = €1 787,92
Resposta
NPV = €1 787,92
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 8,266 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 2 403,63
NPV(10%) = −1 198,35
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 50/1,08 = 46,30, t·PV = 46,30
t = 2: 50/1,166 = 42,87, t·PV = 85,73
t = 3: 50/1,26 = 39,69, t·PV = 119,07
t = 4: 50/1,36 = 36,75, t·PV = 147,01
t = 5: 1050/1,469 = 714,61, t·PV = 3 573,06
Duration
P = 880,22
D = 3 971,17/880,22 = 4,512
Resposta
D = 4,512 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,054 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC
WACC = 0,7273·9% + 0,2727·7%·(1 − 0,21) = 8,054%
Resposta
WACC = 8,054%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,604 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (68,75 − 50)/15 = 1,25
Resposta
z = 1,25
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,1333
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0,1333
Resposta
P = 0,1333
12.Probabilidades
Resposta: σY = 6,867
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 3,4, Var(X) = 5,24, σX = 2,289
Mudança linear
σY = |3|·2,289 = 6,867
Resposta
σY = 6,867
A média de fato se desloca: E(Y) = 3·3,4 + 4 = 14,2.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,839
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8
Área entre os valores
P = Φ(1,8) − Φ(−1,15) = 0,9641 − 0,1251 = 0,839
Resposta
P = 0,839
14.Distribuição normal
Resposta: x = 243,6 g
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
De volta a x
x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g
Resposta
x = 243,59 g
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 1,234 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 5, t = 2,015
Margem de erro
E = 2,015·1,5/√6 = 1,234
Resposta
E = 1,234 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 435
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·19/1,5)² = 434,2
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 435
Resposta
n = 435
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Estatística de teste
t = (124 − 120)/3,333 = 1,2
Resposta
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 246
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,96·4/0,5)² = 245,9
Arredondar para cima
n = 246
Resposta
n = 246
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9917
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 13767 − 135·576/6 = 807
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157,5
Syy = 59500 − 576²/6 = 4204
Coeficiente de correlação
r = 807/√(157,5·4204) = 0,9917
Resposta
r = 0,9917
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 21
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.