Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €8 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.

PV = €8 0003% / 12n = 7

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €30 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 4 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €30 0003,6% / 12N = 48

I = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €12 000, €22 000, €21 000, €21 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 22 000CF₃ = 21 000CF₄ = 21 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €12 500 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 7. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €12 500g = 2%n = 7r = 8%

NPV = €

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 5 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €958 quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 5P = €958YTM = 6%

c = %

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 6 anos e é vendido por €1 110. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%n = 6P = €1 110

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €15 000 000 e custo do capital próprio de 11%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 6%, 6 anos até o vencimento) negociados a €1 025 cada. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €15 000 000r_e = 11%títulos: 8 000 × €1 025cupom = 6%n = 6T = 25%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 43, 20, 38, 31, 57.

n = 5

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está abaixo de 176?

μ = 170σ = 15x = 176

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35

σ =

12.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 5X − 3. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3Y = 5X − 3

σ_Y =

13.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,6211. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,6211

z =

14.Distribuição normalDifícil

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 10% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos10%

x = pontos

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 30 itens tem média 31,5 e desvio-padrão s = 9. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 30x̄ = 31,5s = 990%t(29) = 1,699

limite superior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 37. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 37E = 1,599%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 80 peças tem comprimento médio de 111 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 4 mm. Linha 2: uma amostra de 40 peças tem média de 109 mm, desvio-padrão conhecido de 11 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 80x̄₁ = 111 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 40x̄₂ = 109 mmσ₂ = 11 mm

z =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 5 unidades com poder de 90%. O desvio-padrão é 28. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,05poder = 90%δ = 5σ = 28z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 8?

n = 6ŷ = 8

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 9867 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·7 = 84

Valor futuro

FV = 8 000·(1 + 0,0025)⁸⁴ = 8 000·1,233 = €9 866,84

Resposta

FV = €9 866,84

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 2257 €

Prestação mensal

i = 0,003, N = 48

A = 30 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁴⁸) = €672,02

Juros totais

I = N·A − P = 48·672 − 30 000 = €2 256,72

Resposta

I = €2 256,72

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 21801 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 12 000/1,05 = 11 428,57

CF₂/(1 + 0,05)² = 22 000/1,103 = 19 954,65

CF₃/(1 + 0,05)³ = 21 000/1,158 = 18 140,59

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 21 000/1,216 = 17 276,75

Somar

NPV = €21 800,56

Resposta

NPV = €21 800,56

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: NPV = −11301 €

Valor presente da anuidade crescente

((1,02)/(1,08))⁷ = 0,6702

PV = 12 500/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,6702) = 68 698,53

NPV

NPV = 68 698,53 − 80 000 = −€11 301,47

Resposta

NPV = −€11 301,47

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 5,003 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,06)⁻⁵ = €747,26

Cupom

C = (958 − 747,26)/4,212 = €50,03

Taxa de cupom

c = 50,03/1000 = 5,003%

Resposta

c = 5,003%

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 2,971 %

Equação do rendimento

€1 110 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Resolva numericamente

P(2%) = €1 168,04, P(3%) = €1 108,34

YTM = 2,971%

Resposta

YTM = 2,971%

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,495 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·11% + 0,375·6%·(1 − 0,28) = 8,495%

Resposta

WACC = 8,495%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,57 %

Custo da dívida (YTM)

1025 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5,5%

Valores de mercado

D = 8 000·€1 025 = €8 200 000

V = €23 200 000, E/V = 0,6466, D/V = 0,3534

WACC

WACC = 0,6466·11% + 0,3534·5,5%·(1 − 0,25) = 8,57%

Resposta

WACC = 8,57%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,77

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 189/5 = 37,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 5,2² + (−17,8)² + 0,2² + (−6,8)² + 19,2² = 758,8

Desvio-padrão

s = √(758,8/4) = 13,77

Resposta

s = 13,77

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,6554

Padronizar

z = 0,4

Tabela da normal padrão

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Resposta

P = 0,6554

11.Probabilidades

Resposta: σ = 1,044

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,15 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,9

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,5

Variância

Var(X) = 9,5 − 2,9² = 1,09

σ = √1,09 = 1,044

Resposta

σ = 1,044

12.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 12,45

Dispersão de X

μ = 3, Var(X) = 6,2, σ_X = 2,49

Mudança linear

σ_Y = |5|·2,49 = 12,45

Resposta

σ_Y = 12,45

A média de fato se desloca: E(Y) = 5·3 − 3 = 12.

13.Distribuição normal

Resposta: z = 0,88

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,6211)/2 = 0,8106

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8106 dentro da tabela e leia z.

z = 0,88

Resposta

z = 0,88

14.Distribuição normal

Resposta: x = 119,2 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,9

z da tabela

z ≈ 1,28

De volta às unidades originais

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 pontos

Resposta

x = 119,2 pontos

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 34,29

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Margem de erro

E = 1,699·9/√30 = 2,792

Intervalo

31,5 ± 2,792 → [28,71, 34,29]

Resposta

limite superior = 34,29

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 4038

Resolver em ordem a n

n = (2,576·37/1,5)² = 4038

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 4038

Resposta

n = 4038

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 1,114

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(4²/80 + 11²/40) = √3,225 = 1,796

Estatística de teste

z = (111 − 109)/1,796 = 1,114

Resposta

z = 1,114

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 269

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((1,645 + 1,282)·28/5)² = 268,7

Arredondar para cima

n = 269

Resposta

n = 269

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9893

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 257/5 = 51,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 401,2

Coeficiente de determinação

r² = 126²/(40·401,2) = 0,9893

Resposta

r² = 0,9893

Cerca de 98,93% da variação de y é explicada pela reta.

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 2,855

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 102/6 = 17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Reta de regressão

b = 152/70 = 2,171

a = 17 − 2,171·7 = 1,8

ŷ = 1,8 + 2,171·x

Resolver para x

x = (8 − 1,8)/2,171 = 2,855

Resposta

x = 2,855

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