Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 24%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €15 000 a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €250 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €15 000A = €2507,2% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €100 000 hoje. Ela gera €18 500 no final de cada ano durante 6 anos e depois pode ser vendida por €15 000. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF = €18 500S = €15 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €10 000 e devolve €6 500, €7 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 7 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 3,5%n = 4
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. Ele é vendido a €906. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4,5% (2×)n = 8P = €906
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €36,00 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 5%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 32, 33, 53, 32, 20, 13, 12.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 10. Calcule a pontuação z z de uma nota de 65.
μ = 50σ = 10x = 65
z =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 4 bolas vermelhas e 5 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
4 / 5
P =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X − 3. Encontre o desvio padrão σY de Y.
As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Que fração está entre 76,75 e 115 pontos? Dê P em forma decimal.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 115
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos20%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 21 itens tem média 32 e desvio-padrão s = 4,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 21x̄ = 32s = 4,595%t(20) = 2,086
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 35. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
σ = 35E = 390%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 77,1 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,1s = 5n = 25
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 2,5 unidades com poder de 90%. O desvio-padrão é 7. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3,5, 74). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 74)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 26,82 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,24/12 = 0,02
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,02)12 − 1 = 1,268 − 1 = 26,82%
Resposta
EAR = 26,82%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 75 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,006/250 = 0,64
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,64)/ln(1,006) = 74,6
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
74 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 75
Resposta
N = 75 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −10961 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 277,78
NPV(25%) = −320,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−320,00)) = 22,32%
exato: NPV(22,26%) = 0 → IRR = 22,26%
Resposta
IRR = 22,26%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1019 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,0175, N = 8
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €148,10
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8704 = €870,41
Preço
P = €1 018,51
Resposta
P = €1 018,51
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,996 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, N = 16
Resolva numericamente
i = 2,998% por semestre
YTM
YTM = 2·2,998% = 5,996%
Resposta
YTM = 5,996%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,742 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (65 − 50)/10 = 1,5
Resposta
z = 1,5
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,1667
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667
Resposta
P = 0,1667
12.Probabilidades
Resposta: σY = 0,589
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,25, Var(X) = 1,387, σX = 1,178
Mudança linear
σY = |0,5|·1,178 = 0,589
Resposta
σY = 0,589
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·2,25 − 3 = −1,875.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,7808
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Área entre os valores
P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808
Resposta
P = 0,7808
14.Distribuição normal
Resposta: x = 112,6 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,8
z da tabela
z ≈ 0,84
De volta às unidades originais
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 pontos
Resposta
x = 112,6 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 29,95
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Margem de erro
E = 2,086·4,5/√21 = 2,048
Intervalo
32 ± 2,048 → [29,95, 34,05]
Resposta
limite inferior = 29,95
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 369
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·35/3)² = 368,3
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 369
Resposta
n = 369
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 2,1
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Estatística de teste
t = (77,1 − 75)/1 = 2,1
Resposta
t = 2,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 103
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = ((2,326 + 1,282)·7/2,5)² = 102,1
Arredondar para cima
n = 103
Resposta
n = 103
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9981
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 278/5 = 55,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1149
Coeficiente de correlação
r = 214/√(40·1149) = 0,9981
Resposta
r = 0,9981
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 4,981
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 458/6 = 76,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Reta de regressão
b = 128/17,5 = 7,314
a = 76,33 − 7,314·4,5 = 43,42
ŷ = 43,42 + 7,314·x
Valor previsto
ŷ = 43,42 + 7,314·3,5 = 69,02
Resíduo
e = 74 − 69,02 = 4,981
Resposta
e = 4,981
O ponto está acima da reta.
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