Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €8 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1% ao ano para sempre. O retorno exigido é 7% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €8 000g = 1%r = 7%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €50 000 daqui a 19 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €50 0003,6% / 12N = 228
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €6 000, €6 000, €9 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €7 000, €5 000, €3 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 000CF3 = 3 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 5 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4,5%) quando seu rendimento até o vencimento é 4%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4,5%n = 5y0 = 4%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) é vendido a €1 355. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 060. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%P = €1 355preço de resgate = €1 060resgate em 4 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €20,00 cada e 10 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 7,5%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 30, 39, 48, 53, 28, 26, 18.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 116.
μ = 100σ = 8x = 116
z =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 7 bolas vermelhas e 7 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
7 / 7
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 9 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?
n = 9p = 0,6k = 1
P =
13.Distribuição normalMédia
As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 438 e 540 h? Dê P em forma decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 438x2 = 540
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 95% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 13 itens tem média 52 e desvio-padrão s = 6. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 13x̄ = 52s = 695%t(12) = 2,179
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 31. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?
σ = 31E = 2,595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 44,69 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 44,69s = 12n = 49
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 100 contra H₁: μ > 100 é feito com α = 0,10 e uma amostra de 36; o desvio-padrão é conhecido e vale 18. Na realidade a média é 104,5. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.
μ₀ = 100μ = 104,5σ = 18n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 52?
n = 6ŷ = 52
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 133333 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 6 000/1,06 = 5 660,38
CF2/(1 + 0,06)2 = 6 000/1,124 = 5 339,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Somar
NPV = €−1 443,07
Resposta
NPV = €−1 443,07
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 29,49 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 592,00
NPV(30%) = −63,72
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 25 + 5·592,00/(592,00 − (−63,72)) = 29,51%
exato: NPV(29,49%) = 0 → IRR = 29,49%
Resposta
IRR = 29,49%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = −1,204 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1355 = 60·(1 − (1 + y)−4)/y + 1060/(1 + y)4
Resolva numericamente
y = 50%: €305,68
y = 50%: €305,68
YTC = 50%
Resposta
YTC = 50%
O rendimento até o vencimento é 3,502%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,324 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·7%·(1 − 0,21) = 8,324%
Resposta
WACC = 8,324%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,146 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (116 − 100)/8 = 2
Resposta
z = 2
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,2308
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308
Resposta
P = 0,2308
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,003539
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (438 − 500)/40 = −1,55
z₂ = (540 − 500)/40 = 1
Área entre os valores
P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808
Resposta
P = 0,7808
14.Distribuição normal
Resposta: x = 166,5 cm
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,05
z da tabela
z ≈ −1,64
De volta às unidades originais
x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm
Resposta
x = 166,5 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 55,63
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margem de erro
E = 2,179·6/√13 = 3,626
Intervalo
52 ± 3,626 → [48,37, 55,63]
Resposta
limite superior = 55,63
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 591
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·31/2,5)² = 590,7
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 591
Resposta
n = 591
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,098
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Estatística de teste
t = (44,69 − 50)/1,714 = −3,098
Resposta
t = −3,098
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: 1 − β = 58,63 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 100 + 1,282·3 = 103,8
z sob a média verdadeira
z = (103,8 − 104,5)/3 = −0,218
Potência
poder = P(Z > −0,218) = 58,63%
1 − β = 58,63%
Resposta
1 − β = 58,63%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9843
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 86,8
Coeficiente de correlação
r = −29/√(10·86,8) = −0,9843
Resposta
r = −0,9843
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 2,891
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 399/6 = 66,5
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247
Reta de regressão
b = 247/70 = 3,529
a = 66,5 − 3,529·7 = 41,8
ŷ = 41,8 + 3,529·x
Resolver para x
x = (52 − 41,8)/3,529 = 2,891
Resposta
x = 2,891
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.