Precisa de €20 000 daqui a 6 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €20 0003% / 4n = 6
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €150 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €22 000, €19 000, €15 000, €12 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €30 000 e retorna €17 000, €12 000, €6 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €40 000 e retorna €11 000, €16 000, €20 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 10 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 7,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 8%n = 10y1 = 5,5%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 3 anos e é vendido por €1 055. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,4. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
D/E = 0,4re = 8%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €43,50 cada e 20 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 8,5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 26, 42, 37, 36, 51, 20, 37.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está acima de 120?
μ = 100σ = 20x = 120
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €4 com probabilidade 0,1 e €100 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €2€4: p = 0,1€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
X é normal com média 120 mm e desvio padrão 0,3 mm; Y é independente e normal com média 80 mm e desvio padrão 0,4 mm. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 200,4 mm. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,4 mm
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,02 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 40 celulares, média 66 h, desvio-padrão conhecido 9 h. Modelo 2: 50 celulares, média 72,5 h, desvio-padrão conhecido 8 h. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 23. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 23E = 290%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 46,64 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,64s = 12n = 25
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 100 medições tem média 49,3. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 49,3σ = 5n = 10090%
L =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (27,5, 138). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(27,5, 138)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 16717 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·6 = 24
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,196 = €16 716,63
Resposta
PV = €16 716,63
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1023 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3404
A = 150 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 023,38
Resposta
A = €1 023,38
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 10168 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 22 000/1,1 = 20 000,00
CF2/(1 + 0,1)2 = 19 000/1,21 = 15 702,48
CF3/(1 + 0,1)3 = 15 000/1,331 = 11 269,72
CF4/(1 + 0,1)4 = 12 000/1,464 = 8 196,16
Somar
NPV = €10 168,36
Resposta
NPV = €10 168,36
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 6,208 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 11 000 − 17 000 = −6 000
ΔCF2 = 16 000 − 12 000 = 4 000
ΔCF3 = 20 500 − 6 000 = 14 500
TIR da diferença
NPVΔ(6%) = 74,09
NPVΔ(7%) = −277,40
r* = 6,208%
Resposta
r* = 6,208%
Verificação: a 6,208% os dois VPLs valem €1 652,87.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −154,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23
YTM = 4,017%
Resposta
YTM = 4,017%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,504 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Resposta
P = 0,1587
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 3,4
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 2 (p = 0,1), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,85)
Valor esperado
E(G) = 2·0,1 + 98·0,05 − 2·0,85 = 3,4 €
Resposta
E(G) = 3,4 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,2119
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Padronizar
z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8
Cauda superior
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Resposta
P = 0,2119
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9772
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Padronizar
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Resposta
P = 0,9772
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = −9,491 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 66 − 72,5 = −6,5
Erro-padrão
SE = √(9²/40 + 8²/50) = 1,818
Margem de erro
E = 1,645·1,818 = 2,991
Intervalo
−6,5 ± 2,991 → [−9,491, −3,509]
Resposta
limite inferior = −9,491 h
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 358
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·23/2)² = 357,9
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 358
Resposta
n = 358
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,4
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Estatística de teste
t = (46,64 − 50)/2,4 = −1,4
Resposta
t = −1,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 48,48
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·5/√100 = 0,8225
Limite do intervalo
L = 49,3 − 0,8225 = 48,48
Resposta
L = 48,48
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9837
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 497/5 = 99,4
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1321
Coeficiente de determinação
r² = 228²/(40·1321) = 0,9837
Resposta
r² = 0,9837
Cerca de 98,37% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 3,895
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 710/6 = 118,3
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 828
Reta de regressão
b = 828/157,5 = 5,257
a = 118,3 − 5,257·24,5 = −10,47
ŷ = −10,47 + 5,257·x
Valor previsto
ŷ = −10,47 + 5,257·27,5 = 134,1
Resíduo
e = 138 − 134,1 = 3,895
Resposta
e = 3,895
O ponto está acima da reta.
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