Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Você quer demonstrar ¬r → p por contraposição. Qual implicação você demonstra em seu lugar? Clique nela.
¬r → p
1¬r ∧ ¬p
2¬¬r → ¬p
3¬p → ¬¬r
4p → ¬r
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∀x ∃y R(x, y), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∃y ∀x ¬R(x, y)
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
De 38 estudantes do primeiro ano, 19 foram aprovados em Matemática (M), 14 foram aprovados em Física (P) e 21 foram aprovados em Química (C). 5 foram aprovados em M e P, 12 foram aprovados em M e C, 11 foram aprovados em P e C, e 3 foram aprovados nas três. Quantos estão somente em M?
|U| = 38
|M − (P ∪ C)| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
Quantas relações antissimétricas existem num conjunto com 3 elementos? Chame o número de N.
|X| = 3
N =
5.Teoria dos grafosMédia
Um grafo conexo tem 17 vértices e 27 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?
|V| = 17|E| = 27
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.
M = matriz de adjacênciaL = 2
N =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Resolva 10x ≡ 2 (mod 13). Dê a solução x com 0 < x < 13.
10x ≡ 2 (mod 13)
x =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Cifre a mensagem m = 232 com a chave pública RSA (n, e) = (989, 19). Encontre o texto cifrado c.
n = 989e = 19m = 232
c =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬p → ¬¬r
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes da implicação
a = ¬r, b = p
Contrapositiva
¬b → ¬a = ¬p → ¬¬r
Resposta
¬p → ¬¬r
A contrapositiva é equivalente à afirmação original, então demonstrá-la demonstra a afirmação.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Mova a negação para dentro
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Resposta
∃x ∀y ¬R(x, y)
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |M − (P ∪ C)| = 5
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e pares
M ∩ P ∩ C: 3
M ∩ P apenas: 5 − 3 = 2
M ∩ C apenas: 12 − 3 = 9
P ∩ C apenas: 11 − 3 = 8
Conjuntos individuais
M apenas: 19 − 2 − 9 − 3 = 5
P apenas: 14 − 2 − 8 − 3 = 1
C apenas: 21 − 9 − 8 − 3 = 1
Resposta
|M − (P ∪ C)| = 5
Resposta
|M − (P ∪ C)| = 5
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: N = 216
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
Conte as escolhas livres
N = 23·33 = 216
Resposta
N = 216
5.Teoria dos grafos
Resposta: k = 11
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Arestas de uma árvore geradora
17 − 1 = 16
Arestas a remover
k = 27 − 16 = 11
Resposta
k = 11
6.Teoria dos grafos
Resposta: N = 3
Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.
Matriz de adjacência
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0
Vizinhos comuns
(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3
Resposta
N = 3
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: x = 8
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 10
r = 13, t = 0
r = 10, q = 1, t = 1
r = 3, q = 3, t = −1
r = 1, q = 3, t = 4
10−1 ≡ 4 (mod 13)
Resolva
x ≡ 4·2 = 8 ≡ 8 (mod 13)
verificação: 10·8 = 80 ≡ 2 (mod 13)
Resposta
x = 8
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: c = 670
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.