Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Você quer demonstrar ¬p → q por absurdo. Qual afirmação você supõe no início? Clique nela.
¬p → q
1¬¬p → ¬q
2¬¬p ∧ ¬q
3¬p ∧ ¬q
4¬¬p ∧ q
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∃x A(x), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∃x A(x)
1∃x A(x)
2∃x ¬A(x)
3∀x A(x)
4∀x ¬A(x)
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Cada número no diagrama de Venn é o número de elementos dessa região. Encontre |(A ∩ C) − (A ∩ C′)|.
|U| = 67
|(A ∩ C) − (A ∩ C′)| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
Uma relação de equivalência R em {1, …, 9} tem as classes {2, 4}, {1, 3, 8, 9}, {5, 6, 7}. Quantos pares ordenados R contém? Chame o número de |R|.
{2, 4}{1, 3, 8, 9}{5, 6, 7}
|R| =
5.Teoria dos grafosMédia
Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.
K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
Quantos passeios fechados de comprimento 3 começam e terminam em E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.
M = matriz de adjacênciaL = 3
N =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 29 módulo 69: o número x com 0 < x < 69 e 29·x ≡ 1 (mod 69).
a = 29n = 69
29−1 mod 69 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Uma chave RSA usa os primos p = 17 e q = 31 e o expoente público e = 7. Encontre o expoente privado d (0 < d < φ(n)).
p = 17q = 31e = 7
d =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬p ∧ ¬q
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes da implicação
a = ¬p, b = q
Negação da implicação
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬p ∧ ¬q
Resposta
¬p ∧ ¬q
Se a suposição leva a uma contradição, a implicação deve ser verdadeira.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∀x ¬A(x)
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Mova a negação para dentro
¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)
Resposta
∀x ¬A(x)
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |(A ∩ C) − (A ∩ C′)| = 16
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiões da expressão
A ∩ B′ ∩ C: 14
A ∩ B ∩ C: 2
Somar
|(A ∩ C) − (A ∩ C′)| = 14 + 2 = 16
Resposta
|(A ∩ C) − (A ∩ C′)| = 16
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |R| = 29
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
Pares por classe
|R| = 2² + 4² + 3² = 29
Resposta
|R| = 29
5.Teoria dos grafos
Resposta: H = 2520
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Contar
H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520
Resposta
H = 2520
6.Teoria dos grafos
Resposta: N = 6
Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.
Matriz de adjacência
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
Mais um passo
(M³)EE = 2·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 + 4·0 + 1·1 = 6
Resposta
N = 6
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 29−1 mod 69 = 50
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·29 (mod 69).
r = 69, t = 0
r = 29, q = 2, t = 1
r = 11, q = 2, t = −2
r = 7, q = 1, t = 5
r = 4, q = 1, t = −7
r = 3, q = 1, t = 12
r = 1, q = 3, t = −19
Inversa
1 ≡ −19·29 (mod 69)
x = 50
verificação: 29·50 = 1450 = 21·69 + 1
Resposta
29−1 mod 69 = 50
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: d = 343
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.