Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a ¬(b ∨ c)? Clique nela.
¬(b ∨ c)
1¬b ∧ ¬c
2¬b ∨ ¬c
3b ∨ ¬c
4¬b ∧ c
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∀x P(x), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∀x P(x)
1∃x P(x)
2∀x P(x)
3∀x ¬P(x)
4∃x ¬P(x)
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Num grupo de 54 estudantes, 25 falam francês (F), 29 falam alemão (G) e 18 falam espanhol (S). 10 falam francês e alemão, 7 francês e espanhol, 10 alemão e espanhol, e 1 falam os três. Quantos estão em exatamente um dos três conjuntos? Chame o número de n.
|U| = 54
n =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, a), (2, b), (3, a)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
Um grafo conexo tem 19 vértices e 29 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?
|V| = 19|E| = 29
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.
|V| = 7|E| = 10
W =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 31 módulo 59: o número x com 0 < x < 59 e 31·x ≡ 1 (mod 59).
a = 31n = 59
31−1 mod 59 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
83 é primo. Use o pequeno teorema de Fermat para encontrar 654338 mod 83.
p = 83k = 54338
654338 mod 83 =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬b ∧ ¬c
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. O ∨ vira ∧ e as duas partes são negadas.
¬(b ∨ c) ≡ ¬b ∧ ¬c
Confira com a tabela-verdade
b = 1, c = 1: 0 | 0 0 1 0
b = 1, c = 0: 0 | 0 1 1 0
b = 0, c = 1: 0 | 0 1 0 1
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0
Resposta
¬b ∧ ¬c
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∃x ¬P(x)
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Mova a negação para dentro
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
Resposta
∃x ¬P(x)
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: n = 21
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e pares
F ∩ G ∩ S: 1
F ∩ G apenas: 10 − 1 = 9
F ∩ S apenas: 7 − 1 = 6
G ∩ S apenas: 10 − 1 = 9
Conjuntos individuais
F apenas: 25 − 9 − 6 − 1 = 9
G apenas: 29 − 9 − 9 − 1 = 10
S apenas: 18 − 6 − 9 − 1 = 2
Resposta
9 + 10 + 2 = 21
Resposta
n = 21
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: nenhuma das duas
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
f(1) = f(3) = a → não injetora
Sobrejetora?
c não recebe seta → não sobrejetora
Resposta
nenhuma das duas
Resposta
nenhuma das duas
5.Teoria dos grafos
Resposta: k = 11
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Arestas de uma árvore geradora
19 − 1 = 18
Arestas a remover
k = 29 − 18 = 11
Resposta
k = 11
6.Teoria dos grafos
Resposta: W = 44
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Algoritmo de Kruskal
GD (1): tomar
AB (5): tomar
AC (6): tomar
CE (7): tomar
GC (10): tomar
DE (12): descartar, fecha um ciclo
BC (13): descartar, fecha um ciclo
BD (14): descartar, fecha um ciclo
DF (15): tomar
Peso total
W = 1 + 5 + 6 + 7 + 10 + 15 = 44
Resposta
W = 44
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 31−1 mod 59 = 40
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·31 (mod 59).
r = 59, t = 0
r = 31, q = 1, t = 1
r = 28, q = 1, t = −1
r = 3, q = 9, t = 2
r = 1, q = 3, t = −19
Inversa
1 ≡ −19·31 (mod 59)
x = 40
verificação: 31·40 = 1240 = 21·59 + 1
Resposta
31−1 mod 59 = 40
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 654338 mod 83 = 64
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.