Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Uma motorista a 120 km/h vê um obstáculo. Seu tempo de reação é 1 s, depois do qual o carro freia com desaceleração constante de 6 m/s². Encontre a distância total de parada d a partir do momento em que ela vê o obstáculo.
A bola A é solta do repouso de uma altura de 40 m. No mesmo instante a bola B é lançada verticalmente para cima a partir do chão, logo abaixo, a 16 m/s. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que altura y acima do chão elas se encontram?
Massas de 8 kg e 5 kg estão penduradas dos dois lados de uma polia leve e sem atrito, ligadas por um fio leve. O sistema é solto do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a das massas.
Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 150 N puxa o bloco da frente, de 6 kg; o bloco de 10 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,15 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a tração T no fio de ligação.
Uma bola é lançada a 65° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada a 50° acima da horizontal do topo de um penhasco de 30 m. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Uma pequena bola presa a um fio de comprimento 0,8 m se move em um círculo horizontal de modo que o fio forma um ângulo constante de 35° com a vertical (um pêndulo cônico). Use g = 9,81 m/s². Encontre o tempo T de uma volta.
Uma curva de raio 260 m tem sobrelevação de 8°, e o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax com que um carro pode fazer a curva sem deslizar para cima e para fora.
Um carro de 1500 kg sobe uma rampa de 5° a 36 km/h constantes. A resistência do ar e a resistência ao rolamento juntas somam 350 N. Encontre a potência P que as rodas devem fornecer, em kW.
Um bloco de 8 kg parte do repouso na base de uma rampa de 30° e é puxado rampa acima por uma força constante de 60 N paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,15. Encontre a velocidade v do bloco depois de ele subir 7 m pela rampa.
Um projétil de 10 kg que se move horizontalmente a 32 m/s explode em dois fragmentos que se movem ao longo da mesma reta. O fragmento de 2 kg continua para a frente a 70 m/s. Encontre a velocidade v′2 do fragmento de 8 kg (positiva no sentido original).
Um projétil de 8 g é disparado horizontalmente contra um bloco de 2,5 kg pendurado por fios leves de 1,5 m e fica alojado nele. Os fios oscilam até um ângulo máximo de 30° com a vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.
Uma barra esbelta uniforme de massa 19,5 kg e comprimento 2,5 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração atip da extremidade livre logo após ser solta.
Um corpo (esfera oca) parte do repouso e rola sem deslizar por um plano inclinado de 15° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Seu raio é 0,4 m. Encontre sua velocidade angular ω depois de rolar 6,5 m ao longo do plano.
Um motor de 2,2 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 18 dentes e módulo de 5 mm. Encontre a força tangencial Ft nos dentes do pinhão.
Uma correia aberta liga uma polia motora de 80 mm a 720 rpm a uma polia de 300 mm; os centros estão a 800 mm de distância. O coeficiente de atrito é 0,3 e a tração no lado tracionado não pode exceder 1000 N. Encontre a maior potência P que a correia pode transmitir sem escorregar, em kW (ignore os efeitos centrífugos).
Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para ter período de 0,8 s? Use g = 9,81 m/s². Calcule L.
Um projétil de 5 g a 350 m/s atinge e fica alojado em um bloco de 3,5 kg em repouso sobre uma superfície sem atrito. O bloco está preso a uma mola horizontal com k = 1900 N/m. Encontre a amplitude A da oscilação resultante em cm.
Uma massa de 100 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 100 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 3160 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 50 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 80 kN/m e a inferior k₂ = 10 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: d = 125,9 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Resposta: y = 9,344 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Para cima é positivo, o chão é y = 0.
Resposta: a = 2,264 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
A força motriz resultante é a diferença dos pesos; ela move a massa total.
Resposta: T = 93,75 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Com o mesmo μ nos dois blocos, o atrito sai da conta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Resposta: t = 7,391 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: t = 6,283 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
Resposta: T = 1,624 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Tração e gravidade juntas dão a força para dentro: tan θ = v²/(r·g).
Resposta: vmax = 34,25 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
O atrito aponta para baixo na inclinação.
Resposta: P = 16,32 kW
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Potência é força vezes velocidade: P = F·v.
Resposta: v = 4,3 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′2 = 22,5 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: v = 622,5 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
atip = 1,5·g para qualquer comprimento: a extremidade livre cai mais rápido que uma pedra solta.
Resposta: ω = 11,13 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rolamento sem deslizamento: ω = v/r, e o atrito não realiza trabalho no ponto de contato.
Resposta: Ft = 322 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Resposta: P = 1,739 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: L = 0,159 m
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: A = 2,144 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,4996
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: fn = 2,122 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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