Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Uma motorista a 50 km/h vê um obstáculo. Seu tempo de reação é 1,1 s, depois do qual o carro freia com desaceleração constante de 6,5 m/s². Encontre a distância total de parada d a partir do momento em que ela vê o obstáculo.
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 11 m/s da beira de um telhado a 40 m do chão. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quanto tempo após o lançamento ela atinge o chão? Calcule t.
Um bloco de 15 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 20° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,15. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco de 1 kg em uma rampa a 30° está ligado por um fio leve, passando por uma polia sem atrito no topo da rampa, a uma massa pendurada de 3,5 kg. A massa pendurada desce. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,15. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do sistema.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 36 m/s e deve cair a 90 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre o menor dos dois ângulos de lançamento possíveis θ.
Uma bola é lançada do nível do chão a 25 m/s e 65° acima da horizontal. Ela cai no telhado plano de um prédio de 5 m de altura, já descendo. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a distância horizontal x do ponto de lançamento até onde ela cai.
Um carro de 800 kg passa pelo topo de uma lombada a 14 m/s. O topo da lombada é um arco de circunferência de raio 40 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força normal N da estrada sobre o carro no topo.
Uma bola de 0,9 kg presa a um fio de 1,2 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 7 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um lançador de brinquedo tem uma mola vertical de rigidez 2000 N/m. Uma bola de 0,1 kg é colocada sobre ela e a mola é comprimida 5 cm e depois solta. Desprezando a resistência do ar e a massa da mola, encontre a altura h que a bola sobe, medida a partir da sua posição com a mola comprimida.
Um bloco de 20 kg parte do repouso na base de uma rampa de 15° e é puxado rampa acima por uma força constante de 130 N paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Encontre a velocidade v do bloco depois de ele subir 8 m pela rampa.
Um carrinho de 4 kg a 12 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 0,5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′2 do segundo carrinho após a colisão.
Em um cruzamento, um carro de 1900 kg que vai para leste a 20 m/s colide com um carro de 1900 kg que vai para norte a 15 m/s. Os carros ficam presos um ao outro. Encontre a direção θ dos destroços logo após a colisão, medida a partir do leste em direção ao norte.
Uma barra esbelta uniforme de massa 2,5 kg e comprimento 2,2 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força vertical R que o pino exerce sobre a barra logo após ser solta.
Um corpo (cilindro maciço) parte do repouso e rola sem deslizar por um plano inclinado de 40° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Encontre sua velocidade v depois de rolar 2 m ao longo do plano.
Um motor de 1,5 kW girando a 1500 rpm aciona um pinhão com 24 dentes, que engrena com uma engrenagem de 25 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 96%. Calcule o torque T1 no eixo do motor.
Uma correia aberta liga uma polia motora de 150 mm a 1450 rpm a uma polia de 315 mm; os centros estão a 1000 mm de distância. O coeficiente de atrito é 0,35 e a tração no lado tracionado não pode exceder 500 N. Encontre a maior potência P que a correia pode transmitir sem escorregar, em kW (ignore os efeitos centrífugos).
Uma massa de 2,1 kg presa a uma mola com k = 20 N/m é puxada 4 cm no sentido positivo e solta do repouso em t = 0. Encontre seu deslocamento x a partir do equilíbrio em t = 1,3 s (com sinal).
Uma massa de 0,8 kg é presa à extremidade inferior de uma mola vertical não deformada com k = 500 N/m e solta do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax da massa.
Uma massa de 100 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 40 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 800 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 40 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 5 kN/m e a inferior k₂ = 10 kN/m. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: d = 30,12 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: t = 4,189 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Para cima é positivo e o chão está h₀ abaixo do ponto de partida.
Só a raiz positiva tem sentido físico.
Resposta: a = 1,972 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: a = 6,257 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: θ = 21,47 °
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A outra solução é 90° − θ = 68,53°.
Resposta: x = 46,35 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Raiz maior: a bola está descendo.
Resposta: N = 3928 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para baixo) é positivo.
O carro fica mais leve: a estrada empurra para cima menos que o seu peso.
Resposta: T = 45,58 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: h = 2,548 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v = 4,23 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′2 = 21,33 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
Resposta: θ = 36,87 °
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: R = 6,131 N
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
R = m·g/4, independente do comprimento.
Resposta: v = 4,101 m/s
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
Rolamento sem deslizamento: ω = v/r, e o atrito não realiza trabalho no ponto de contato.
Resposta: T1 = 9,549 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: P = 3,685 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: x = −2,578 cm
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: vmax = 0,3924 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
A velocidade é máxima no equilíbrio.
Resposta: ζ = 0,2
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: keq = 3,333 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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